Hình vẽ bên dưới mô tả đoạn đường đi vào GARA ÔTÔ của bác

Câu hỏi số 755658:

Vận dụng cao

Hình vẽ bên dưới mô tả đoạn đường đi vào GARA ÔTÔ của bác An.

Đoạn đường đầu tiên có chiều rộng bằng \(x\left( m \right)\), đoạn đường thẳng vào cổng GARA có chiều rộng \(2,6\left( m \right)\). Biết kích thước xe ôtô là \(5m \times 1,9m\) (chiều dài x chiều rộng). Để tính toán và thiết kế đường đi cho ôtô người ta coi ôtô như một khối hộp chữ nhật có kích thước chiều dài là \(5\left( {{\rm{\;m}}} \right)\), chiều rộng \(1,9\left( m \right)\). Tìm chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên để ôtô có thể đi vào GARA được? (Làm tròn kết quả đến hàng phần muời; giả thiết ôtô không đi ra ngài đuờng, không đi nghiêng và ôtô không bị biến dạng).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:755658

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ từ đó tìm hàm số biểu diễn chiều rộng của gara. Khảo sát hàm số tìm giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Trả lời: 3,7

Chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ. Khi đó, \(M\left( { - 2,6;m} \right)\).

Gọi \(B\left( { - a;0} \right)\), suy ra \(A\left( {0;\sqrt {25 - {a^2}} } \right),a > 0\).

Từ đó, phương trình của \(AB\) là \(\dfrac{x}{{ - a}} + \dfrac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} = 1\).

Do \(CD//AB\) nên phương trình \(CD\) là \(\dfrac{x}{{ - a}} + \dfrac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - k = 0\).

Khoảng cách giữa \(AB\) và \(CD\) là chiều rộng của ôtô và bằng \(1,9m\) nên

\(\dfrac{{\left| {k - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {25 - {a^2}} }}} \right)}^2}} }} = 1,9 \Leftrightarrow k = 1 + \dfrac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }}\).

Phương trình \(CD\) được viết lại là \(\dfrac{x}{{ - a}} + \dfrac{y}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 - \dfrac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }} = 0\)

Điều kiện để ôtô đi qua được là \(M\) và \(O\) nằm khác phía đối với đường thẳng \(CD\).

Suy ra

\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{2,6}}{a} + \dfrac{m}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 - \dfrac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }}} \right)\left( { - 1 - \dfrac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }}} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2,6}}{a} + \dfrac{m}{{\sqrt {25 - {a^2}} }} - 1 - \dfrac{{9,5}}{{a\sqrt {25 - {a^2}} }} \ge 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow m \ge \sqrt {25 - {a^2}} + \dfrac{{9,5}}{a} - \dfrac{{2,6\sqrt {25 - {a^2}} }}{a}\) (đúng với mọi \(a \in \left( {0;5} \right]\) ).

Xét hàm số \(f\left( a \right) = \sqrt {25 - {a^2}} + \dfrac{{9,5}}{a} - \dfrac{{2,6\sqrt {25 - {a^2}} }}{a}\) trên nửa khoảng \(\left( {0;5} \right]\).

Ta có \(f'\left( a \right) = \dfrac{{65 - 9,5\sqrt {25 - {a^2}} - {a^3}}}{{{a^2}\sqrt {25 - {a^2}} }} \Rightarrow f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 3 \in \left( {0;5} \right)\).

Bảng biến thiên

Do đó, \(m \ge f\left( a \right),\forall a \in \left( {0;5} \right] \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{37}}{{10}} = 3,7\).

Vậy 3,7 là giá trị cần tìm.

Đáp án cần điền là: 3,7

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.