Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(5 ; 0 ; 0), B(3 ; 4 ; 0)\) và điểm C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(5 ; 0 ; 0), B(3 ; 4 ; 0)\) và điểm C nằm trên trục Oz. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Khi C di chuyển trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn đó, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Ta có \(O A=O B=5\) nên tam giác \(O A B\) cân tại \(O\).
Ta có \(C(0 ; 0 ; c)\).
Gọi \(E(4 ; 2 ; 0)\) là trung điểm của \(A B\).
Do \(\left\{\begin{array}{l}A B \perp O C \\ A B \perp O E\end{array}\right.\), suy ra mặt phẳng \((O C E)\) cố định vuông góc với \(A B\) và tam giác \(A B C\) cân tại \(C\). Khi đó \(H \in(O C E)\).
Gọi \(K\) là trực tâm tam giác \(O A B\), do \(A, B\) và \(K\) cùng nằm trong mặt phẳng \((O x y)\) nên \(K(a ; b ; 0)\).
Ta có \(\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{O K} \cdot \overrightarrow{A B}=0 \\ \overrightarrow{B K} \cdot \overrightarrow{O A}=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a \cdot(-2)+b \cdot 4=0 \\ a-3=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=3 \\ b=\dfrac{3}{2}\end{array}\right.\right.\right.\).
Tìm được \(K=\left(3 ; \dfrac{3}{2} ; 0\right)\).
Ta chứng minh được \(K H \perp(C A B)\) (do \(\left\{\begin{array}{l}A B \perp(O E C) \\ C A \perp(B H K)\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}H K \perp A B \\ H K \perp C A\end{array}\right.\right.\) ).
Suy ra \(\widehat{K H E}=90^{\circ}\).
Hay \(H\) thuộc mặt cầu đường kính \(KE=\sqrt{1+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) và thuộc mặt phẳng \((O C E)\) cố định.
Vậy \(H\) luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính
\(R=\dfrac{\sqrt{5}}{4} \approx 0,56\).
Đáp án cần điền là: 0,56
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
