Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA=3, SB=4, SC=5\). Một mặt phẳng \((\alpha)\) luôn đi
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA=3, SB=4, SC=5\). Một mặt phẳng \((\alpha)\) luôn đi qua trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) và cắt các cạnh \(SA, SB, SC\) lần lượt tại \(A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T=\dfrac{1}{S A^{\prime 2}}+\dfrac{1}{S B^{\prime 2}}+\dfrac{1}{S C^{\prime 2}}\)
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Đặt: \(S A=x, S B=y, S C=z\)
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\). Ta có:
\(3 \overrightarrow{S G}=\overrightarrow{S A}+\overrightarrow{S B}+\overrightarrow{S C}\)
\(=\dfrac{S A}{S A^{\prime}} \overrightarrow{S A^{\prime}}+\dfrac{S B}{S B^{\prime}} \overrightarrow{S B^{\prime}}+\dfrac{S C}{S C^{\prime}} \overrightarrow{S C^{\prime}}\).
Mà \(G, A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}\) đồng phẳng nên
\(\dfrac{S A}{S A^{\prime}}+\dfrac{S B}{S B^{\prime}}+\dfrac{S C}{S C^{\prime}}=3\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{x}{S A^{\prime}}+\dfrac{y}{S B^{\prime}}+\dfrac{z}{S C^{\prime}}=3\)
Theo BĐT Cauchy Schwarz:
Ta có
\(\left(\dfrac{1}{S A^{\prime 2}}+\dfrac{1}{S B^{\prime 2}}+\dfrac{1}{S C^{\prime 2}}\right)\left(x^2+y^2+z^2\right) \geq\left(\dfrac{x}{S A^{\prime}}+\dfrac{y}{S B^{\prime}}+\dfrac{z}{S C^{\prime}}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{S A^{\prime 2}}+\dfrac{1}{S B^{\prime 2}}+\dfrac{1}{S C^{\prime 2}} \geq \dfrac{9}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{9}{3^2+4^2+5^2}=0,18\)
Vậy GTNN của \(\dfrac{1}{S A^{1^2}}+\dfrac{1}{S B^{1^2}}+\dfrac{1}{S C^{1^2}}\) là 0,18.
Đáp án cần điền là: 0,18
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
