Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\)( đơn vị trên mỗi trục là

Câu hỏi số 758495:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\)( đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí \(I\left( {21;35;50} \right)\) và ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng là \(4\,\)km. Nếu người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí \(I\left( {21;35;50} \right)\) đến vị trí \(D\left( {5121;658;0} \right)\). Hãy tìm vị trí cuối cùng trên đoạn \(ID\) sao cho người đi biển có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng ( kết quả làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai). Khi đó điểm này có hoành độ bằng _______

Đáp án:

Đáp án đúng là: 3999

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:758495

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng ID. Gọi \(H \in ID\) và giải phương trình \(IH = R\) tìm tọa độ H.

Giải chi tiết

Đáp số: 3999

Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của ngọn hải đăng là: \({\left( {x - 21} \right)^2} + {\left( {y - 35} \right)^2} + {\left( {z - 50} \right)^2} = {4000^2}\).

Ta có \(\left| {\overrightarrow {ID} } \right| = \sqrt {26400629} > 4000\) nên điểm \(D\) nằm ngoài mặt cầu.

Đường thẳng \(ID\)đi qua điểm \(I\left( {21;35;50} \right)\)và nhận \(\overrightarrow {ID} = \left( {5100;623; - 50} \right)\) làm véctơ chỉ phương nên phương trình tham số của \(ID\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 21 + 5100t}\\{y = 35 + 623t}\\{z = 50 - 50t}\end{array}} \right.\)

Giả sử \(H\) là điểm cuối cùng trên \(ID\) sao cho người đi đường có thể nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Khi đó \(IH = R\).

Do \(H \in ID \Rightarrow H\left( {21 + 5100t;35 + 623t;50 - 50t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {5100t;623t; - 50t} \right)\).

Do \(IH = R \Rightarrow \sqrt {{{\left( {5100t} \right)}^2} + {{\left( {623t} \right)}^2} + {{\left( { - 50t} \right)}^2}} = 4000 \Leftrightarrow \sqrt {26400629{t^2}} = 4000 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \approx 0,78}\\{t \approx - 0,78}\end{array}} \right.\)

Với \(t \approx 0,78 \Rightarrow H\left( {3999;520,94;11} \right)\).

Nhận thấy \(\overrightarrow {IH} \) cùng huướng với \(\overrightarrow {ID} \) nên \(H\) thuộc đoạn thẳng \(ID\).

Với \(t \approx - 0,78 \Rightarrow H\left( { - 3957; - 450,94;89} \right)\).

Nhận thấy \(\overrightarrow {IH} \) không cùng hướng với \(\overrightarrow {ID} \) nên \(H\) không thuộc đoạn thẳng \(ID\).

Vậy vị trí cần tìm là \(H\left( {3999;520,94;11} \right)\)

Đáp án cần điền là: 3999

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.