Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} +

Câu hỏi số 758500:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\) và ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {2;1;3} \right),\,C\left( {0;2; - 3} \right)\). Biết rằng tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn biểu thức \(M{A^2} + 2.\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = 8\) là đường tròn cố định, bình phương bán kính \(r\) của đường tròn này là.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:758500

Phương pháp giải

Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu từ đó tìm giao tuyến của hai mặt cầu.

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) khi đó \(M{A^2} + 2.\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = 8\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} + 2.\left[ {\left( {2 - x} \right).\left( { - x} \right) + \left( {1 - y} \right).\left( {2 - y} \right) + \left( {3 - z} \right).\left( { - 3 - z} \right)} \right] = 8\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 7 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 9\)\( \Rightarrow M \in \left( {{S_1}} \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right):\,I(3;3;2),\,R = 3\).

Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):\,{I_1}(1;1;0),\,{R_1} = 3\).

Ta có \(I{I_1} = 2\sqrt 3 < R + {R_1} \Rightarrow (S)\)cắt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn.

Đường tròn này nằm trên mặt phẳng

\(\left( P \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} - \left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {z^2}} \right] = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 5 = 0\).

\(d\left( {I;(P)} \right) = \sqrt 3 \Rightarrow r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I;(P)} \right)} = \sqrt 6 \).

Đáp án cần điền là: 6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.