Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2}

Câu hỏi số 758501:

Thông hiểu

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 4\). Có bao nhiêu điểm \(P\) thuộc \(\left( S \right)\) mà tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại \(P\) cắt các trục \(Ox,\;Oz\) tương ứng tại các điểm \(E\left( {a;0;0} \right),\;F\left( {0;0;b} \right)\) sao cho \(a,\;b\) là các số nguyên dương và \(\angle {EPF} = {90^{\rm{o}}}\)?

A. \(1\).

B. \(2\).

C. \(4\).

D. \(3\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:758501

Phương pháp giải

Nhận xét \(EH = EP,\;FH = FP\), suy ra \(\Delta EPF = \Delta EHF\) hay \(\overrightarrow {HE} .\overrightarrow {HF} = 0\).

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2;4} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

Ta có \(d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 2} \right|}}{1} = 2 = R\) nên \(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(\left( {Oxz} \right)\) tại \(H\left( {1;0;4} \right)\).

Dễ thấy \(EH = EP,\;FH = FP\) (do tính chất các tiếp tuyến kẻ từ 1 điểm đến mặt cầu).

Suy ra \(\Delta EPF = \Delta EHF\) (c – c – c) nên \(\angle {EHF} = \angle {EPF} = {90^{\rm{o}}}\) (2 góc tương ứng) hay \(\overrightarrow {HE} .\overrightarrow {HF} = 0\).

Khi đó \(\left( {a - 1;0; - 4} \right).\left( { - 1;0;b - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow - a + 1 - 4b + 16 = 0 \Leftrightarrow a + 4b - 17 = 0\).

Vì \(a\) nguyên dương nên \(a = 17 - 4b \ge 0 \Rightarrow b \le \dfrac{{17}}{4} \Rightarrow b \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).

Các cặp \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn là \(\left( {13;1} \right),\;\left( {9;2} \right),\;\left( {5;3} \right),\;\left( {1;4} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.