Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), có \(O,I\) lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp và

Câu hỏi số 758670:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), có \(O,I\) lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Cho \(BC = 24\;cm,AC = 20\;cm\). Tính độ dài bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp và bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:758670

Phương pháp giải

Áp dụng định lí Pythagore để tính AH.

Chứng minh \(\Delta ACH\)~\(\Delta ADC\) để có cặp đoạn thẳng tỉ lệ và xác định AD hay bán kính R.

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức để tính bán kính r.

Giải chi tiết

Gọi H là giao điểm của AD và BC.

Do đó, \(AH \bot BC\) và H là trung điểm của \(BC\).

Suy ra \(HB = HC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} \cdot 24 = 12\,\,(cm)\).
Xét \(\Delta ACH\) vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có: \(A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\)

Suy ra \(AH = \sqrt {A{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {{{20}^2} - {{12}^2}} = \sqrt {256} = 16\,\,(cm)\).
Ta có \(AD\) là đường kính của đường tròn (\(O\)) ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nên \(\angle {ACD} = {90^0}\).

Xét \(\Delta ACH\) và \(\Delta ADC\) có:
\(\angle {AHC} = \angle {ACD} = {90^0}\) và góc A chung
Do đó \(\Delta ACH\)~\(\Delta ADC\) (g.g)
Suy ra \(\dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{{AH}}{{AC}}\) hay \(A{C^2} = AH.AD\).
Nên \(AD = \dfrac{{A{C^2}}}{{AH}} = \dfrac{{{{20}^2}}}{{16}} = 25\,\,(cm)\).
Do đó, bán kính đường tròn \(\left( {\rm{O}} \right)\) đường kính AD ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là

\(R = \dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{{25}}{2} = 12,5\,\,(cm)\)

Do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC = 20\;cm\).

Do BI là phân giác của góc ABH nên \(\dfrac{{IH}}{{IA}} = \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{{12}}{{20}} = \dfrac{3}{5}\).
Ta có \(\dfrac{{IH}}{{IA}} = \dfrac{3}{5}\) hay \(\dfrac{{IH}}{{IH + IA}} = \dfrac{3}{{3 + 5}}\) (tính chất tỉ lệ thức) hay \(\dfrac{{IH}}{{AH}} = \dfrac{3}{8}\)
Tức là \(\dfrac{r}{{16}} = \dfrac{3}{8}\).

Vì vậy \(r = \dfrac{{16.3}}{8} = 6\;\,\,(cm)\).
Vậy độ dài bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp và bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) lần lượt là \(R = 12,5\;cm\) và \(r = 6\;cm\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link