Tìm số nguyên dương \(n\) sao cho \(1.C_{2n}^1 + 2 \cdot C_{2n}^2 + 3 \cdot C_{2n}^3 + \cdots

Câu hỏi số 759018:

Vận dụng

Tìm số nguyên dương \(n\) sao cho \(1.C_{2n}^1 + 2 \cdot C_{2n}^2 + 3 \cdot C_{2n}^3 + \cdots + n \cdot C_{2n}^n = {2^{68}}\).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:759018

Phương pháp giải

Sử dụng nhị thức Newton và đạo hàm

Biến đổi từ tính chất \(k.C_n^k = n.C_{n - 1}^{k - 1}\)

Giải chi tiết

Ta có \(k.C_n^k = n.C_{n - 1}^{k - 1}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1.C_{2n}^1 = 2n.C_{2n - 1}^0\\2.C_{2n}^2 = 2n.C_{2n - 1}^1\\...\\n.C_{2n}^n = 2n.C_{2n - 1}^{n - 1}\end{array} \right. \Rightarrow 1.C_{2n}^1 + 2.C_{2n}^2 + 3.C_{2n}^3 + \cdots + n.C_{2n}^n = 2n\left( {C_{2n - 1}^0 + C_{2n - 1}^1 + ...C_{2n - 1}^{n - 1}} \right)\)

Ta có \({2^{2n - 1}} = {\left( {1 + 1} \right)^{2n - 1}} = C_{2n - 1}^0 + C_{2n - 1}^1 + ... + C_{2n - 1}^{2n - 1}\)

Mà \(C_{2n - 1}^0 = C_{2n - 1}^{2n - 1};C_{2n - 1}^1 = C_{2n - 1}^{2n - 2};...;C_{2n - 1}^{n - 1} = C_{2n - 1}^n\)

\( \Rightarrow C_{2n - 1}^0 + C_{2n - 1}^1 + ...C_{2n - 1}^{n - 1} = \dfrac{{{2^{2n - 1}}}}{2} = {2^{2n - 2}}\)

\( \Rightarrow 2n{.2^{2n - 2}} = {2^{68}} \Leftrightarrow n = 32\).

Đáp án cần điền là: 32

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.