Cho \({\rm{S}} = \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \cdots +

Câu hỏi số 760188:

Vận dụng

Cho \({\rm{S}} = \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{{2024}^2}}}\). Chứng tỏ rằng S không phải là số tự nhiên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:760188

Phương pháp giải

Ta xét \(\dfrac{1}{{{2^2}}} < 1 - \dfrac{1}{2}\); \(\dfrac{1}{{{3^2}}} < \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\); …; \(\dfrac{1}{{{{2024}^2}}} < \dfrac{1}{{2023}} - \dfrac{1}{{2024}}\)

Từ đó chứng minh được \(0 < {\rm{S}} < \dfrac{{2023}}{{2024}}\) và kết luận.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\dfrac{1}{{{2^2}}} < 1 - \dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{{{3^2}}} < \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\)

…

\(\dfrac{1}{{{{2024}^2}}} < \dfrac{1}{{2023}} - \dfrac{1}{{2024}}\)

Khi đó:

\({\rm{S}} = \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{{2024}^2}}} < 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{{2023}} - \dfrac{1}{{2024}}\)

\({\rm{S}} < 1 - \dfrac{1}{{2024}} = \dfrac{{2023}}{{2024}}\)

Suy ra \(0 < {\rm{S}} < \dfrac{{2023}}{{2024}}\) hay \(0 < {\rm{S}} < 1\) nên S không phải là số tự nhiên.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link