Cho tam giác ABC cân ở A, đường trung tuyến \({\rm{AM}}\,\,\left( {{\rm{M}} \in {\rm{BC}}} \right)\)a)

Câu hỏi số 761048:

Vận dụng

Cho tam giác ABC cân ở A, đường trung tuyến \({\rm{AM}}\,\,\left( {{\rm{M}} \in {\rm{BC}}} \right)\)
a) Chứng minh rằng \(\Delta AMB = \Delta AMC\).
b) Chứng minh: AM là đường trung trực của BC
c) Từ M kẻ \({\rm{ME}} \bot {\rm{AB}}\) tại E, từ E kẻ tia Ex vuông góc với BC tại I. Trên tia EI lấy điểm F sao cho I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng \({\rm{FM}} \bot {\rm{AC}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:761048

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.c.c.

b) Chứng minh AM vuông góc với BC và M là trung điểm của BC.

c) Chứng minh \(\angle {MHC} = {90^0}\) (FM cắt AC tại H) từ đó kết luận hai đường thẳng vuông góc.

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) có:
\(MB = MC\) (\(AM\) là đường trung tuyến)
\(AB = AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A)\)
\(AM\) là cạnh chung
Vậy \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (c.c.c)

b) Vì \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (cmt) nên \(\angle {AMB} = \angle {AMC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\angle {AMB} + \angle {AMC} = {180^0}\) (2 góc kề bù)

\(\angle {AMB} + \angle {AMB} = {180^0}\)

\(2\angle {AMB} = {180^0}\)

\(\angle {AMB} = {180^0}:2 = {90^0}\)

\( \Rightarrow {\rm{AM}} \bot {\rm{BC}}\) mà M là trung điểm của BC
\( \Rightarrow {\rm{AM}}\) là đường trung trực của BC

c) FM cắt AC tại H

Ta có: \({\rm{\Delta }}FIM = {\rm{\Delta }}EIM\) (2 cạnh góc vuông)

Suy ra \(\angle {EMI} = \angle {FMI}\) (hai góc tương ứng)

Mặt khác \(\angle {EMI} + \angle {MEI} = {90^0}\)

\(\angle {MEI} = \angle B\,\,\,( = {90^0} - \angle {EMI})\)

\(\angle C = \angle B\) (do \(\Delta {\rm{ABC}}\) cân tại A)

\(\angle {FMI} = \angle {HMC}\) (hai góc đối đỉnh)

Suy ra \(\angle {HMC} + \angle C = {90^0}\) hay \(\angle {MHC} = {90^0}\)

Vậy \({\rm{FM}} \bot {\rm{AC}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link