Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{x - 5}}{{x - 1}}\) và \(B = \dfrac{x}{{x - 1}} + \dfrac{3}{{x + 1}} - \dfrac{{6x -

Câu hỏi số 761451:

Vận dụng

Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{x - 5}}{{x - 1}}\) và \(B = \dfrac{x}{{x - 1}} + \dfrac{3}{{x + 1}} - \dfrac{{6x - 4}}{{{x^2} - 1}}\) với \(x \ne 1;x \ne - 1\)

a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 3\)

b) Chứng tỏ rằng \(B = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\)

c) Cho \(P = A.B\). Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) nhận giá trị là số tự nhiên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:761451

Phương pháp giải

a) Thay giá trị của \(x\) vào \(A\).

b) Rút gọn biểu thức \(B\) bằng cách quy đồng.

c) Tính \(P\). Sau đó đưa \(P\) về dạng \(P = a + \dfrac{b}{{cx + d}}\,\,\left( {a \in \mathbb{Z},\,\,b \in \mathbb{Z},\,\,c \ne 0} \right)\)

Giải chi tiết

a) Thay \(x = 3\,\,\left( {TM} \right)\) vào \(A\) ta được \(A = \dfrac{{3 - 5}}{{3 - 1}} = \dfrac{{ - 2}}{2} = - 1\)

b) ĐKXĐ: \(x \ne 1;x \ne - 1\)

\(B = \dfrac{x}{{x - 1}} + \dfrac{3}{{x + 1}} - \dfrac{{6x - 4}}{{{x^2} - 1}}\)

\(B = \dfrac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{6x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(B = \dfrac{{x\left( {x + 1} \right) + 3\left( {x - 1} \right) - \left( {6x - 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(B = \dfrac{{{x^2} + x + 3x - 3 - 6x + 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(B = \dfrac{{{x^2} - 2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(B = \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(B = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\)

Vậy \(B = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}},\,\,x \ne 1,\,\,x \ne - 1\)

c) Ta có: \(P = A.B = \dfrac{{x - 5}}{{x - 1}}.\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 5}}{{x + 1}}\)

Như vậy \(P = \dfrac{{x - 5}}{{x + 1}},\,\,x \ne - 1,\,\,x \ne 1\)

Ta có: \(P = \dfrac{{x - 5}}{{x + 1}} = \dfrac{{x + 1 - 6}}{{x + 1}} = 1 - \dfrac{6}{{x + 1}}\)

Vì \(P \in \mathbb{Z},\,\,1 \in \mathbb{Z}\) nên \(\dfrac{6}{{x + 1}} \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(x + 1 \in \left\{ { - 1, - 2, - 3, - 6,1,2,3,6} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(x \in \left\{ { - 2; - 3; - 4; - 7;0;1;2;5} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link