Cho \(a + b + c = 0\). Chứng minh: \(\left( {\dfrac{{a - b}}{c} + \dfrac{{b - c}}{a} + \dfrac{{c - a}}{b}}

Câu hỏi số 761455:

Vận dụng

Cho \(a + b + c = 0\). Chứng minh: \(\left( {\dfrac{{a - b}}{c} + \dfrac{{b - c}}{a} + \dfrac{{c - a}}{b}} \right)\left( {\dfrac{c}{{a - b}} + \dfrac{a}{{b - c}} + \dfrac{b}{{c - a}}} \right) = 9\) với \((a,b,c \ne 0;a \ne b,b \ne c,c \ne a)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:761455

Phương pháp giải

Đặt \(\dfrac{{a - b}}{c} = x,\,\,\dfrac{{b - c}}{a} = y,\,\,\dfrac{{c - a}}{b} = z\,\,\left( {x,\,\,y,\,\,z \ne 0} \right)\)

Khi đó \(\dfrac{c}{{a - b}} = \dfrac{1}{x},\,\,\dfrac{a}{{b - c}} = \dfrac{1}{y},\,\,\dfrac{b}{{c - a}} = \dfrac{1}{z}\)

Bài toán trở thành chứng minh \(\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) = 9\)

Giải chi tiết

Đặt \(\dfrac{{a - b}}{c} = x,\,\,\dfrac{{b - c}}{a} = y,\,\,\dfrac{{c - a}}{b} = z\,\,\left( {x,\,\,y,\,\,z \ne 0} \right)\)

Khi đó \(\dfrac{c}{{a - b}} = \dfrac{1}{x},\,\,\dfrac{a}{{b - c}} = \dfrac{1}{y},\,\,\dfrac{b}{{c - a}} = \dfrac{1}{z}\)

Bài toán trở thành chứng minh \(\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) = 9\)

Ta có: \(\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) = 3 + \left( {\dfrac{{y + z}}{x} + \dfrac{{x + z}}{y} + \dfrac{{x + y}}{z}} \right)\)

Lại có:

\(\dfrac{{y + z}}{x} = \left( {\dfrac{{b - c}}{a} + \dfrac{{c - a}}{b}} \right).\dfrac{c}{{a - b}}\)

\( = \dfrac{{{b^2} - bc + ac - {a^2}}}{{ab}}.\dfrac{c}{{a - b}}\)

\( = \dfrac{{c\left( {a - b} \right)\left( {c - a - b} \right)}}{{ab\left( {a - b} \right)}}\)

\( = \dfrac{{c\left( {c - a - b} \right)}}{{ab}}\)

\( = \dfrac{{c\left[ {2c - \left( {a + b + c} \right)} \right]}}{{ab}}\)

\( = \dfrac{{2{c^2}}}{{ab}}\,\,\left( {do\,\,a + b + c = 0} \right)\)

Tương tự \(\dfrac{{x + z}}{y} = \dfrac{{2{a^2}}}{{bc}},\,\,\dfrac{{x + y}}{z} = \dfrac{{2{b^2}}}{{ac}}\)

Thay \(\dfrac{{y + z}}{x} + \dfrac{{x + z}}{y} + \dfrac{{x + y}}{z} = \dfrac{{2{c^2}}}{{ab}} + \dfrac{{2{a^2}}}{{bc}} + \dfrac{{2{b^2}}}{{ac}} = \dfrac{{2\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)}}{{abc}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}a + b + c = 0\\ \Rightarrow b + c = - a\\ \Rightarrow {\left( {b + c} \right)^3} = - {a^3}\\ \Rightarrow {b^3} + {c^3} + 3bc\left( {b + c} \right) + {a^3} = 0\\ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3bc.\left( { - a} \right) = 0\,\,\left( {do\,\,a + b + c = 0} \right)\\ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\\ \Rightarrow \dfrac{{2\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)}}{{abc}} = \dfrac{{2.3abc}}{{abc}} = 6\end{array}\)

Vậy \(\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) = 9\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link