Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB < AD\). Kẻ \(CE\) vuông góc với \(AB\) tại \(E\), \(CF\) vuông góc

Câu hỏi số 761454:

Vận dụng

Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB < AD\). Kẻ \(CE\) vuông góc với \(AB\) tại \(E\), \(CF\) vuông góc với \(AD\) tại \(F\), \(BI\) vuông góc với \(AC\) tại \(I\)

a) Chứng minh: \(\Delta AIB\)~\(\Delta AEC\) và \(AB.AE = AI.AC\)

b) Chứng minh: \(\Delta CBI\)~\(\Delta ACF\)và \(AB.AE + AF.CB = A{C^2}\)

c) Chứng minh: \(\angle {CEF} = \angle {BCA}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:761454

Phương pháp giải

a) Chứng minh 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp góc góc từ đó suy ra đẳng thức

b) Chứng minh \(AF.BC = AC.CI\), kết hợp với ý a suy ra đpcm

c) Chứng minh \(\Delta CEF\)~\(\Delta BCA\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta AIB\) và \(\Delta AEC\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\angle {BAI}\;chung\\\angle {AIB} = \angle {AEC} = {90^0}\;\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta AIB\)~ \(\Delta AEC\left( {g - g} \right)\)

Ta suy ra

\(\begin{array}{l}\dfrac{{AI}}{{AE}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\\ \Rightarrow AB.AE = AI.AC\end{array}\)

b) Ta có: \(\angle {BCI} = \angle {CAF}\,\,\left( {BC//AD} \right)\)

Xét \(\Delta CBI\)và \(\Delta ACF\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\angle {BCI} = \angle {CAF}\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle {BIC} = \angle {CFA} = {90^0}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta CBI\)~ \(\Delta ACF(g - g)\)

Ta có \(AB.AE = AC.AI\)(cmt)

Từ \(\Delta CBI\)~ \(\Delta ACF\)\( \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{AC}} = \dfrac{{CI}}{{AF}} \Rightarrow AF.BC = AC.CI\)

Suy ra \(AB.AE + AF.BC = AC.AI + AC.CI = AC\left( {AI + CI} \right) = AC.AC = A{C^2}\)

c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle {ABC} + \angle {CBE} = {180^0}\\\angle {ECF} + \angle {FAE} = {180^0}\end{array} \right.\)

Mà \(\angle {EAF} = \angle {EBC}\)

\( \Rightarrow \angle {ABC} = \angle {ECF}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle ABC + \angle EBC = 180^\circ \\\angle ADC + \angle CDF = 180^\circ \\\angle ABC = \angle ADC\,\,\left( {do\,\,ABCD\,\,la\,\,hbh} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \(\angle EBC = \angle CDF\)

Xét \(\Delta CEB\) và \(\Delta CFD\) có

\(\begin{array}{l}\angle EBC = \angle CDF\\\angle BEC = \angle CFD = 90^\circ \end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta CEB\)~\(\Delta CFD\,\,\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{CF}} = \dfrac{{CB}}{{CD}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{CB}} = \dfrac{{CF}}{{AB}}\)

Xét \(\Delta CEF\) và \(\Delta BCA\) có

\(\begin{array}{l}\dfrac{{CE}}{{CB}} = \dfrac{{CF}}{{AB}}\\\angle ABC = \angle ECF\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta CEF\)~ \(\Delta BCA\,\,\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle CEF = \angle BCA\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link