Chứng minh rằng \(\dfrac{{x - y}}{{1 + xy}} + \dfrac{{y - z}}{{1 + yz}} + \dfrac{{z - x}}{{1 + zx}} = \dfrac{{x -

Câu hỏi số 762119:

Vận dụng

Chứng minh rằng \(\dfrac{{x - y}}{{1 + xy}} + \dfrac{{y - z}}{{1 + yz}} + \dfrac{{z - x}}{{1 + zx}} = \dfrac{{x - y}}{{1 + xy}} \cdot \dfrac{{y - z}}{{1 + yz}} \cdot \dfrac{{z - x}}{{1 + zx}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:762119

Phương pháp giải

Từ vế trái thêm bớt và tách ta có:

\(\dfrac{{x - y}}{{1 + xy}} + \dfrac{{y - z}}{{1 + yz}} + \dfrac{{z - x}}{{1 + zx}}\)

\( = \dfrac{{x - y}}{{1 + xy}} + \dfrac{{y - x + x - z}}{{1 + yz}} + \dfrac{{z - x}}{{1 + zx}}\)

\( = \dfrac{{x - y}}{{1 + xy}} - \dfrac{{x - y}}{{1 + yz}} + \dfrac{{x - z}}{{1 + yz}} - \dfrac{{x - z}}{{1 + zx}}\)

Từ đó đặt nhân tử chung.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\dfrac{{x - y}}{{1 + xy}} + \dfrac{{y - z}}{{1 + yz}} + \dfrac{{z - x}}{{1 + zx}}\)

\( = \dfrac{{x - y}}{{1 + xy}} + \dfrac{{y - x + x - z}}{{1 + yz}} + \dfrac{{z - x}}{{1 + zx}}\)

\( = \dfrac{{x - y}}{{1 + xy}} - \dfrac{{x - y}}{{1 + yz}} + \dfrac{{x - z}}{{1 + yz}} - \dfrac{{x - z}}{{1 + zx}}\)

\( = \left( {x - y} \right)\left( {\dfrac{1}{{1 + xy}} - \dfrac{1}{{1 + yz}}} \right) + \left( {x - z} \right)\left( {\dfrac{1}{{1 + yz}} - \dfrac{1}{{1 + zx}}} \right)\)

\( = \left( {x - y} \right)\dfrac{{yz - xy}}{{\left( {1 + xy} \right)\left( {1 + yz} \right)}} + \left( {x - z} \right)\dfrac{{zx - yz}}{{\left( {1 + yz} \right)\left( {1 + zx} \right)}}\)

\( = \dfrac{{y\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}}{{\left( {1 + xy} \right)\left( {1 + yz} \right)}} + \dfrac{{z\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}}{{\left( {1 + yz} \right)\left( {1 + zx} \right)}}\)

\( = \dfrac{{y\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}}{{\left( {1 + xy} \right)\left( {1 + yz} \right)}} - \dfrac{{z\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}}{{\left( {1 + yz} \right)\left( {1 + zx} \right)}}\)

\( = \dfrac{{\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}}{{1 + yz}} \cdot \dfrac{{y\left( {1 + zx} \right) - z\left( {1 + xy} \right)}}{{\left( {1 + xy} \right)\left( {1 + zx} \right)}}\)

\( = \dfrac{{\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}}{{1 + yz}} \cdot \dfrac{{y - z}}{{\left( {1 + xy} \right)\left( {1 + zx} \right)}}\)

\( = \dfrac{{x - y}}{{1 + xy}} \cdot \dfrac{{y - z}}{{1 + yz}} \cdot \dfrac{{z - x}}{{1 + zx}}\)

Vậy \(\dfrac{{x - y}}{{1 + xy}} + \dfrac{{y - z}}{{1 + yz}} + \dfrac{{z - x}}{{1 + zx}} = \dfrac{{x - y}}{{1 + xy}} \cdot \dfrac{{y - z}}{{1 + yz}} \cdot \dfrac{{z - x}}{{1 + zx}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link