Cho \((O)\)có đường kính\(AB\). Kẻ đường kính \(CD\) vuông góc với\(AB\). Lấy \(M\) thuộc cung

Câu hỏi số 766185:

Vận dụng cao

Cho \((O)\)có đường kính\(AB\). Kẻ đường kính \(CD\) vuông góc với\(AB\). Lấy \(M\) thuộc cung nhỏ BC, \(AM\)cắt \(CD\) tại \(E\). Qua \(D\) kẻ tiếp tuyến với \((O)\)cắt đường thẳng \(BM\) tại \(N\). Gọi \(P\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(DN\).

1) Chứng minh rằng: Các điểm \(M,\,N,D,E\) cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh rằng:\(EN\,{\rm{//}}\,CB.\)

3) Chứng minh rằng:\(AM.BN = 2{R^2}\) và tìm vị trí điểm \(M\) trên cung nhỏ BC để diện tích tam giác \(BNC\) đạt giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766185

Phương pháp giải

1) Chứng minh các tam giác \(\Delta EDN\) và \(\Delta EMN\) vuông, suy ra \(M,\,N,D,E\) cùng thuộc một đường tròn đường kính\(EN\).

2) Chứng minh \(\angle CBM = \angle ENM\left( { = \angle EDM} \right)\) mà hai góc \(\angle CBM;\angle ENM\) ở vị trí đồng vị suy ra \(EN\,{\rm{//}}\,CB\).

3) Chứng minh \(\Delta AMB\)~\(\Delta BPN\) (g.g) để có \(AM.BN = AB.BP\) mà \(OD = OB = BP = R\) nên \(AM.BN = BP.AB = R.2R = 2{R^2}\).

Kẻ \(EF \bot BC,\,NK \bot BC\). Khi đó \({S_{NBC}}\,\max \) khi và chỉ khi \(NK\,\max \).

Tứ giác\(EFKN\) là hình chữ nhật nên \(EF\, = \,NK\). Do đó\(NK\,\max \) khi \(EF\,\max \).

Giải chi tiết

1) Gọi \(I\)là trung điểm của \(NE\).

Có \(DN \bot CD\,\,\)( vì \(DN\)là tiếp tuyến của \((O)\))

Nên \(\angle CDN = 90^\circ \) hay\(\angle EDN = 90^\circ \)

\(\Delta EDN\)vuông tại \(D\)có \(DI\)là đường trung tuyến của tam giác

Nên \(DI = IN = IE = \dfrac{1}{2}NE\) (1) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Ta có \(\angle AMB = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Nên \(\angle EMN = 90^\circ \)

Xét \(\Delta EMN\)vuông tại \(M\)có \(MI\) là đường trung tuyến của tam giác

Nên \(MI = IN = IE = \dfrac{1}{2}NE\)\(\left( 2 \right)\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Từ (1) và (2) Suy ra \(DI = MI = IN = IE = \dfrac{1}{2}NE\) nên các điểm \(M,\,N,D,E\) cùng thuộc một đường tròn đường kính\(EN\).

2) Xét \((O)\)có \(\angle {CDM} = \angle {CBM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CM của \(\left( O \right)\))

Suy ra \(\angle EDM = \angle CBM\) (3)

Vì tứ giác\(MNDE\)có 4 đỉnh thuộc đường tròn đường kính \(EN\) (cmt )

Suy ra \(\angle EDM = \angle ENM\) (4) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EM của \(\left( I \right)\)có đường kính\(EN\))

Từ (3) và (4) ta có \(\angle CBM = \angle ENM\left( { = \angle EDM} \right)\)

Mà hai góc \(\angle CBM;\angle ENM\)này ở vị trí đồng vị

Suy ra \(EN\,{\rm{//}}\,CB\).

3) Ta có \(BP \bot DN\)nên \(\angle BPN = 90^\circ \) suy ra \(\angle AMB = \angle BPN = 90^\circ \)

Vì \(DN \bot CD\) (\(DN\) kẻ tiếp tuyến với \((O)\) nên \(BA\,{\rm{//}}\,DN\)

Suy ra\(\angle ABM = \angle DNB\) (hai góc đồng vị)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta BPN\) có:

\(\angle AMB = \angle BPN = 90^\circ \)(chứng minh trên)

\(\angle ABM = \angle DNB\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\Delta AMB\)~\(\Delta BPN\) (g - g)

Do đó \(\dfrac{{AM}}{{BP}} = \dfrac{{AB}}{{BN}}\) suy ra \(AM.BN = AB.BP\) (5)

Xét tứ giác \(OBPD\)có :

\(\angle DOB = \angle BPD = \angle ODP = 90^\circ \)

\(OD = OB = R\)

Suy ra \(OBPD\) là hình vuông (DHNB) nên \(OD = OB = BP = R\) (6)

Từ (5) và (6) ta có\(AM.BN = BP.AB = R.2R = 2{R^2}\)

* Kẻ \(EF \bot BC,\,NK \bot BC\)

\({S_{NBC}} = \dfrac{1}{2}NK.BC\). Do \(BC\) không đổi nên \({S_{NBC}}\,\max \) khi và chỉ khi \(NK\,\max \).

Do \(EF \bot BC,\,NK \bot BC\) \( \Rightarrow EF\,{\rm{//}}\,NK\).

Có tứ giác \(EFKN\) là hình bình hành (DHNB)

Mà \(\angle EFK = 90^\circ \) (do \(EF \bot BC\)) nên tứ giác \(EFKN\) là hình chữ nhật (DHNB)

Suy ra \(EF\, = \,NK\).

Ta có \(NK\,\max \) khi \(EF\,\max \)khi \(E \equiv O\) khi \(M \equiv B\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link