Người ta muốn làm một vườn rau có dạng hình chữ nhật \(ABCD\) có diện tích \(640{m^2}\), để
Người ta muốn làm một vườn rau có dạng hình chữ nhật \(ABCD\) có diện tích \(640{m^2}\), để tạo thêm cảnh quan xung quanh đẹp hơn, người ta mở rộng thêm bốn phần diện tích để trồng hoa, tạo thành một đường tròn đi như hình vẽ, biết tâm hình tròn trùng với giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật. Khi đó chọn kích thước cạnh \(ABCD\) như thế nào để diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất?
Quảng cáo
Đặt \(AB = x;BC = y\). Tính diện tích phần đất trồng hoa theo \(x;y\), rồi tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức thu được.
Đặt \(AB = x;BC = y\left( {x,y > 0} \right)\)
Độ dài đường kính của đường tròn là đường chéo của hình chữ nhật \(ABCD\).
Vậy biểu thức xác định đường kính của đường tròn là \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
Vậy bán kính của đường tròn là \(\dfrac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{2}\)
Diện tích đường tròn là \(S = \pi .\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{4}\)
Diện tích của hình chữ nhật là \({S_{hcn}} = xy = 640\left( {{m^2}} \right)\)
Diện tích phần đất trồng hoa là \(S' = S - {S_{hcn}} = \pi .\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{4} - xy\;\)
Ta có \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x;y\) nên \({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\)
hay \({x^2} + {y^2} \ge 2xy\)
Suy ra \(\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{4} \ge \dfrac{{xy}}{2} > 0\)
Do đó \(\dfrac{{\pi \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{4} \ge \dfrac{{\pi xy}}{2}\) hay \(\dfrac{{\pi \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{4} - xy \ge \dfrac{{\pi xy}}{2} - xy\)
Vậy \(S' \ge \dfrac{{\pi xy}}{2} - xy\;\) suy ra \(S \ge 320\pi - 640\)
Vậy để diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất thì \(x = y\)
Khi đó \(x = y = 8\sqrt {10} \) (m)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
