Dãy số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \sqrt 2 }\\{{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 2} }\end{array}}

Câu hỏi số 766778:

Vận dụng

Dãy số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \sqrt 2 }\\{{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 2} }\end{array}} \right.\) bị chặn trên bởi \(a\). Khi đó \(a = \)?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766778

Phương pháp giải

Tính bị chặn của dãy số, chứng minh \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Rightarrow {u_n}\) là dãy tăng và \({u_n} < 2\) từ đó suy ra dãy bị chặn.

Giải chi tiết

Ta có: \({u_n} > 1\)

Giả sử tồn tại \({u_n} \ge 2 \Rightarrow \sqrt {{u_{n - 1}} + 2} \ge 2 \Rightarrow {u_{n - 1}} \ge 2\).

Nếu tồn tại \({u_n} \ge 2\) thì suy ra \({u_{n - 1}} \ge 2\), từ đó suy ra được \({u_{n - 2}},{u_{n - 3}}, \ldots ,{u_2},{u_1} \ge 2\) vô lý

Do \({u_1} = \sqrt 2 < 2\). Nên điều giả sử là sai. Suy ra: \({u_n} < 2\)

Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \sqrt {{u_n} + 2} - {u_n} = \dfrac{{{u_n} + 2 - u_n^2}}{{\sqrt {{u_n} + 2} + {u_n}}} = \dfrac{{\left( {2 - {u_n}} \right)\left( {1 + {u_n}} \right)}}{{\sqrt {{u_n} + 2} + {u_n}}} > 0\)

Suy ra: \({u_{n + 1}} > {u_n}\) nên \({u_n}\) là dãy tăng.

Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên bởi 2.

Đáp án: 2

Đáp án cần điền là: 2

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.