Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x\) có đồ thị \((C)\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả

Câu hỏi số 766811:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x\) có đồ thị \((C)\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của \(k\) để đường thẳng \(d:y = k(x + 1) + 2\) cắt đồ thị hàm số \((C)\) tại ba điểm phân biệt M, N, P sao cho các tiếp tuyến của \((C)\) tại \(N\) và \(P\) vuông góc với nhau. Biết điểm \(M( - 1;2)\), tính tích tất cả các phần tử của tập S?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1/9

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766811

Phương pháp giải

Tương giao đồ thị

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3x = k(x + 1) + 2 \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 2 = k(x + 1) \Leftrightarrow (x + 1)\left( {{x^2} - x - 2} \right) = k(x + 1)\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{{x^2} - x - k - 2 = 0}\end{array}} \right.\end{array}\)

Đặt \(f(x) = {x^2} - x - k - 2\)

Để \((C)\) cắt d tại 3 điểm phân biệt \( \Rightarrow f(x) = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác -1

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k \ne 0}\\{k > \dfrac{{ - 9}}{4}}\end{array}} \right.\)

Khi đó, gọi \(M( - 1;2),N\left( {{x_1};{y_1}} \right),P\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là tọa độ giao điểm của \((C)\) và \(d\)

\( \Rightarrow {x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\) nên \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn hệ thức Viet: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 1}\\{{x_1}{x_2} = - k - 2}\end{array}} \right.\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{y^\prime }\left( {{x_1}} \right).{y^\prime }\left( {{x_2}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \left( {3x_1^2 - 3} \right)\left( {3x_2^2 - 3} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow 9{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 9\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 9{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 9\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 9{( - k - 2)^2} - 9[1 - 2( - k - 2)] + 10 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 9{k^2} + 18k + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = \dfrac{{ - 3 + 2\sqrt 2 }}{3}}\\{k = \dfrac{{ - 3 - 2\sqrt 2 }}{3}}\end{array}} \right.\)

Vậy tích các phần tử của \(S\) là \(\dfrac{1}{9}\)

Đáp án: 1/9

Đáp án cần điền là: 1/9

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.