Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới

Câu hỏi số 767307:

Vận dụng cao

Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = f\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) + m} \right]$ có nhiều điểm cực trị nhất là $\left( {a;{\rm{ }}b} \right),$ với $a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}.$ Giá trị của $a - b$ bằng

Đáp án:

Đáp án đúng là: -1/4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767307

Phương pháp giải

Sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số.

Giải chi tiết

Xét $y' = \left( {2f\left( x \right) - 1} \right) \cdot f'\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) + m} \right] = 0.$

Trường hợp 1: $2f\left( x \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a}&{\left( {a < 0} \right)}&{}\\{x = b}&{\left( {0 < b < 2} \right)}&{}\\{x = c}&{\left( {c > 2} \right)}&{}\end{array}} \right.$

Trường hợp 2: $f'\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) + m} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) + m = 0}\\{{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) + m = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - {f^2}\left( x \right) + f\left( x \right){\rm{ }}}&{\left( 1 \right)}\\{m = - {f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + 2}&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

Xét hàm số $g\left( x \right) = - {f^2}\left( x \right) + f\left( x \right).$

Ta có $g'\left( x \right) = \left[ { - 2f\left( x \right) + 1} \right] \cdot f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {a;{\rm{ 0; }}b;{\rm{ }}2;{\rm{ }}c} \right\}.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Để hàm số $y = f\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) + m} \right]$ có nhiều điểm cực trị nhất thì phương trình $\left( 1 \right),{\rm{ }}\left( 2 \right)$ phải có tổng số nghiệm nhiều nhất

Trường hợp 1: $m \in (2; \dfrac{9}{4})$

Phương trình (1): $g(x) = m$. Vì $m > 2$ mà giá trị lớn nhất của $g(x)$ chỉ là $\dfrac{1}{4}$, nên phương trình này vô nghiệm.

Phương trình (2): $g(x) = m - 2$. Vì $m \in (2; \dfrac{9}{4})$ nên $m - 2 \in (0; \dfrac{1}{4})$.

Dựa vào bảng biến thiên của $g(x)$, đường thẳng này cắt đồ thị tại 6 điểm.

Tổng số nghiệm của $y'=0$: $5 \text{ (cố định)} + 0 + 6 = \mathbf{11}$ điểm cực trị.

Trường hợp 2: $m \in (0; \dfrac{1}{4})$

Phương trình (1): $g(x) = m$. Vì $m \in (0; \dfrac{1}{4})$ nên phương trình này có 6 điểm.

Phương trình (2): $g(x) = m - 2$. Vì $m \in (0; \dfrac{1}{4})$ nên $m - 2 \in (-2; -1.75)$.

Nhìn vào bảng biến thiên của $g(x)$, dải giá trị từ $-12$ đến $0$ sẽ cắt đồ thị tại 4 điểm.

Tổng số nghiệm của $y'=0$: $5 \text{ (cố định)} + 6 + 4 = \mathbf{15}$ điểm cực trị.

Vậy $a - b = 2 - \dfrac{9}{4} = - \dfrac{1}{4}.$

Đáp án: -1/4

Đáp án cần điền là: -1/4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.