Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\)nhỏ hơn 100 thoả mãn phương

Câu hỏi số 767433:

Thông hiểu

Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\)nhỏ hơn 100 thoả mãn phương trình

\(\dfrac{1}{{{{\log }_m}3}}.\cos 3x + {\log _9}m.\sin 3x = \sqrt {{{\log }_3}\dfrac{m}{{81}}} \)

có nghiệm? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 19

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767433

Phương pháp giải

Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình \(a.\sin x + b.\cos x = c\)có nghiệm.

Giải chi tiết

Điều kiện để phương trình có nghĩa: \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m > 0\\{\log _3}\dfrac{m}{{81}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 81\).
Khi đó, để phương trình đã cho có nghiệm thì:

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{1}{{{{\log }_m}3}}} \right)^2} + {\left( {{{\log }_9}m} \right)^2} \ge {\log _3}\dfrac{m}{{81}}\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_3}m} \right)^2} + \dfrac{1}{4}{\left( {{{\log }_3}m} \right)^2} \ge {\log _3}m - 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{5}{4}{\left( {{{\log }_3}m} \right)^2} - {\log _3}m + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{5}{4}{\left( {{{\log }_3}m - \dfrac{2}{5}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{5} \ge 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Dễ thấy (1) luôn đúng với điều kiện \(m \ge 81\), suy ra để phương trình có nghiệm thì \(m \ge 81\)
Vậy có 99 – 81 + 1 = 19 số nguyên dương \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.

Đáp án cần điền là: 19

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.