Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C\) có độ dài cạnh bên bằng \(2a\), đáy
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C\) có độ dài cạnh bên bằng \(2a\), đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại\(A,\,\,AB = a,\,\,AC = a\sqrt 3 \) và hình chiếu vuông góc của đỉnh \(A'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Côsin của góc giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(B'C'\) bằng bao nhiêu?
Đáp án đúng là: 0,25
Quảng cáo
Gắn hệ trục tọa độ và tính góc giữa hai đường thẳng.
Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC,H\) là trung điểm của \(AB,K\) là trung điểm của \(AC\) thì \(OHAK\) là hình chữ nhật. Ta có
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a,OA = \dfrac{{BC}}{2} = a\)
\(OA' = \sqrt {A{{A'}^2} - O{A^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \)
\(OH = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(OK = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{a}{2}\)
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho tia \(Ox\) chứa \(H\), tia \(Oy\) chứa \(K\) và tia \(Oz\) chứa \(A'\) (xem hình vẽ).
Khi đó \(A'\left( {0;0;a\sqrt 3 } \right),A\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{a}{2};0} \right),B\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}; - \dfrac{a}{2};0} \right),C\left( { - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{a}{2};0} \right)\).
\(\overrightarrow {AA'} = \left( { - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}; - \dfrac{a}{2};a\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - a\sqrt 3 ;a;0} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(AA'\) và \(B'C'\). Khi đó:
\(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {A{A^\prime }} ,\overrightarrow {BC} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {A{A^\prime }} .\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\overrightarrow {A{A^\prime }} .\overrightarrow {BC} }} = \dfrac{1}{4} = 0,25.\)
Đáp án cần điền là: 0,25
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
