Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 4y = {y^3} + 16x\\1 + {y^2} = 5\left( {1 + {x^2}}

Câu hỏi số 770043:

Vận dụng

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 4y = {y^3} + 16x\\1 + {y^2} = 5\left( {1 + {x^2}} \right)\end{array} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:770043

Phương pháp giải

Xét các trường hợp \(x = 0\) và \(x \ne 0\).

Giải chi tiết

Với \(x = 0\) thì hệ phương trình đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}4y = {y^3}\\{y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow y = \pm 2\)

Xét \(x \ne 0\), đặt \(\dfrac{y}{x} = t \Rightarrow y = xt\). Hệ phương trình đã cho trở thành

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 4xt = {x^3}{t^3} + 16x\\1 + {x^2}{t^2} = 5\left( {1 + {x^2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3}\left( {{t^3} - 1} \right) = 4xt - 16x\\{x^2}\left( {{t^2} - 5} \right) = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3}\left( {{t^3} - 1} \right) = 4x\left( {t - 4} \right) & \left( 1 \right)\\{x^2}\left( {{t^2} - 5} \right) = 4 & & \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Nhân từng vế của (1) và (2) ta được phương trình

\(\begin{array}{l}4{x^3}\left( {{t^3} - 1} \right) = 4{x^3}\left( {t - 4} \right)\left( {{t^2} - 5} \right)\\ \Leftrightarrow {t^3} - 1 = {t^3} - 4{t^2} - 5t + 20\,\,\left( {do\,\,x \ne 0} \right)\\ \Leftrightarrow 4{t^2} + 5t - 21 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 3\\t = \dfrac{7}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(t = - 3\), thay vào (2) ta được \({x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\)

\(x = 1 \Rightarrow y = - 3\), thử lại ta thấy \(\left( {1; - 3} \right)\) thỏa mãn hệ phương trình đã cho

\(x = - 1 \Rightarrow y = 3\), thử lại ta thấy \(\left( { - 1;3} \right)\) thỏa mãn hệ phương trình đã cho

Với \(t = \dfrac{7}{4}\), thay vào (2) ta được \({x^2} = - \dfrac{{64}}{{31}}\) (Loại)

Vậy hệ phương trình đã cho có các cặp nghiệm \(\left( {0;2} \right),\,\,\left( {0; - 2} \right),\,\,\left( {1; - 3} \right),\,\,\left( { - 1;3} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link