Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta: 3 x-y+2=0\) và tam giác \(A B C\)

Câu hỏi số 770546:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta: 3 x-y+2=0\) và tam giác \(A B C\) có các đỉnh \(A(-1 ; 4)\), \(B(2 ;-2)\), trọng tâm \(G\left(-\dfrac{2}{3} ; \dfrac{1}{3}\right)\).
a) Tìm tọa độ đỉnh \(C\) và viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta^{\prime}\) đi qua điểm \(B\), vuông góc với đường thẳng \(\Delta\).
b) Viết phương trình đường tròn \((T)\) tâm \(B\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\). Tìm tiếp điểm của đường tròn \((T)\) và đường thẳng \(\Delta\).
c) Cho điểm \(M\) thay đổi tùy ý trên đường thẳng \(\Delta\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F=M A+2 M B+3 M C\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:770546

Giải chi tiết

a) Ta có

\(\left\{\begin{array}{l}x_G=\dfrac{1}{3}\left(x_A+x_B+x_C\right) \\ y_G=\dfrac{1}{3}\left(y_A+y_B+y_C\right)\end{array} \right.\) \(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_C=3 x_G-x_A-x_B=-3 \\ y_C=3 y_G-y_A-y_B=-1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow C(-3 ;-1)\).

Vectơ \(\vec{n}=(3 ;-1)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta\). Mà \(\Delta^{\prime} \perp \Delta\) nên vectơ \(\vec{n}^{\prime}=(1 ; 3)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta^{\prime}\).

Hơn nữa, \(\Delta^{\prime}\) đi qua điểm \(B(2 ;-2)\).

Vậy \(\Delta^{\prime}\) có phương trình là \(1(x-2)+3(y+2)=0 \Leftrightarrow x+3 y+4=0\).
b) Đường tròn \((T)\) tâm \(B(2 ;-2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\) nên có bán kính là
\(R=\mathrm{d}(B, \Delta)=\dfrac{|3 \cdot 2-(-2)+2|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\sqrt{10}\)
Vậy \((T)\) có phương trình là \((x-2)^2+(y+2)^2=10\).
Gọi \(H\) là tiếp điểm của \((T)\) và \(\Delta\) thì \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) trên \(\Delta\).
Suy ra \(H\) là giao điểm của hai đường thẳng \(\Delta^{\prime}\) và \(\Delta\).
Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{array}{l}3 x-y+2=0 \\ x+3 y+4=0\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3 x-y=-2 \\ x+3 y=-4\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=-1\end{array}\right.\).
Vậy tiếp điểm của \((T)\) và \(\Delta\) là điểm \(H(-1 ;-1)\).

c) Lấy tùy ý điểm \(M\left(x_0 ; y_0\right) \in \Delta\) với \(3 x_0-y_0+2=0\). Ta thấy

\(M A=\sqrt{\left(x_0+1\right)^2+\left(y_0-4\right)^2} \geq \sqrt{\left(y_0-4\right)^2}=\left|y_0-4\right| \geq 4-y_0 \)
\(M B \geq H B=\mathrm{d}(B, \Delta)=\sqrt{10} \)

\(M C=\sqrt{\left(x_0+3\right)^2+\left(y_0+1\right)^2} \geq \sqrt{\left(x_0+3\right)^2}=\left|x_0+3\right| \geq x_0+3\)

Dẫn tới \(F=M A+2 M B+3 M C \geq 4-y_0+2 \sqrt{10}+3\left(x_0+3\right)\)

Hay \(F \geq\left(3 x_0-y_0+2\right)+11+2 \sqrt{10}=0+11+2 \sqrt{10}=11+2 \sqrt{10}\).
Dấu "=" xảy ra khi \(x_0=-1, y_0=-1\), tức là \(M \equiv H(-1 ;-1)\).
Vậy \(\min F=11+2 \sqrt{10}\), đạt được khi \(M \equiv H(-1 ;-1)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10