Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:x - 2y - 2 = 0\) và ba điểm \(A(3;4),B( -

Câu hỏi số 771556:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:x - 2y - 2 = 0\) và ba điểm \(A(3;4),B( - 1;2)\), \(C(0;1)\). Biết rằng tồn tại duy nhất điểm \(M(a;b)\) thuộc đường thẳng \(d\) để biểu thức \(|\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} |\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức \(P = a + 2b\).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:771556

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\).

Ta có \(\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OI} - 2(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OI} ) + 3(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OI} ) = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} - 2\overrightarrow {OB} + 3\overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OI} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {OA} - 2\overrightarrow {OB} + 3\overrightarrow {OC} )\)\( = \left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\).

Hay \(I\left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\). Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} \\ = (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} ) - 2(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} ) + 3(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} )\\ = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {MI} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IC} \\ = 2\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} \\ = 2\overrightarrow {MI} \end{array}\).

Suy ra \(|\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} | = |2\overrightarrow {MI} | = 2MI\).

Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, tức là \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên đường thẳng \(d\).

Đường thẳng \(d:x - 2y - 2 = 0\). \(M(a;b)\) thuộc \(d\) nên \(a - 2b - 2 = 0\).

Đường thẳng IM vuông góc với \(d\) nên có phương trình \(2x + y + c = 0\).

\(I\left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\) thuộc IM nên \(2 \cdot \dfrac{5}{2} + \dfrac{3}{2} + c = 0 \Leftrightarrow 5 + \dfrac{3}{2} + c = 0 \Leftrightarrow c = - \dfrac{{13}}{2}\).

Vậy phương trình đường thẳng \(IM:2x + y - \dfrac{{13}}{2} = 0 \Leftrightarrow 4x + 2y - 13 = 0\).

\(M(a;b)\) thuộc IM nên \(4a + 2b - 13 = 0\).

Ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - 2b - 2 = 0}\\{4a + 2b - 13 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5a - 15 = 0}\\{a - 2b - 2 = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{3 - 2b - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{ - 2b = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{b = \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Suy ra \(M\left( {3;\dfrac{1}{2}} \right)\).

Vậy \(P = a + 2b = 3 + 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 3 + 1 = 4\).

Đáp án cần điền là: 4

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10