Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:x - 2y - 2 = 0\) và ba điểm \(A(3;4),B( -

Câu hỏi số 771556:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:x - 2y - 2 = 0\) và ba điểm \(A(3;4),B( - 1;2)\), \(C(0;1)\). Biết rằng tồn tại duy nhất điểm \(M(a;b)\) thuộc đường thẳng \(d\) để biểu thức \(|\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} |\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức \(P = a + 2b\).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:771556

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\).

Ta có \(\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OI} - 2(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OI} ) + 3(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OI} ) = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} - 2\overrightarrow {OB} + 3\overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OI} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {OA} - 2\overrightarrow {OB} + 3\overrightarrow {OC} )\)\( = \left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\).

Hay \(I\left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\). Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} \\ = (\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} ) - 2(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} ) + 3(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} )\\ = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {MI} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IC} \\ = 2\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} \\ = 2\overrightarrow {MI} \end{array}\).

Suy ra \(|\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} | = |2\overrightarrow {MI} | = 2MI\).

Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, tức là \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên đường thẳng \(d\).

Đường thẳng \(d:x - 2y - 2 = 0\). \(M(a;b)\) thuộc \(d\) nên \(a - 2b - 2 = 0\).

Đường thẳng IM vuông góc với \(d\) nên có phương trình \(2x + y + c = 0\).

\(I\left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\) thuộc IM nên \(2 \cdot \dfrac{5}{2} + \dfrac{3}{2} + c = 0 \Leftrightarrow 5 + \dfrac{3}{2} + c = 0 \Leftrightarrow c = - \dfrac{{13}}{2}\).

Vậy phương trình đường thẳng \(IM:2x + y - \dfrac{{13}}{2} = 0 \Leftrightarrow 4x + 2y - 13 = 0\).

\(M(a;b)\) thuộc IM nên \(4a + 2b - 13 = 0\).

Ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - 2b - 2 = 0}\\{4a + 2b - 13 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5a - 15 = 0}\\{a - 2b - 2 = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{3 - 2b - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{ - 2b = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{b = \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Suy ra \(M\left( {3;\dfrac{1}{2}} \right)\).

Vậy \(P = a + 2b = 3 + 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 3 + 1 = 4\).

Đáp án cần điền là: 4

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.