Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x + 2 = {y^3} + 3{y^2} & & &

Câu hỏi số 772395:

Vận dụng

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x + 2 = {y^3} + 3{y^2} & & & \left( 1 \right)\\\sqrt {x - 2} + \sqrt {{x^3} - 3{x^2} + y + 2} = {x^2} + 3y & \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:772395

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ

- Sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử ở phương trình (1) ta tìm được liên hệ giữa \(x\) và \(y\)

Thế vào phương trình (2) rồi sử dụng phương pháp đánh giá

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^3} - 3x = {\left( {y + 1} \right)^3} - 3\left( {y + 1} \right)\\{x^3} - {\left( {y + 1} \right)^3} = 3\left( {x - y - 1} \right)\\\left( {x - y - 1} \right)\left[ {{x^2} + x\left( {y + 1} \right) + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right] = 3\left( {x - y - 1} \right)\\\left[ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0 & & & \left( 3 \right)\\{x^2} + x\left( {y + 1} \right) + {\left( {y + 1} \right)^2} = 3 & \left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\(\left( 3 \right) \Leftrightarrow y = x - 1\)

Thế vào phương trình (2) ta được

\(\begin{array}{l}\sqrt {x - 2} + \sqrt {{x^3} - 3{x^2} + x + 1} = {x^2} - 3x + 3\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1 + \sqrt 2 \\\sqrt {x - 2} + \sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} = {x^2} - 3x + 3\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2} \le \dfrac{{1 + x - 2}}{2} = \dfrac{{x - 1}}{2}\\\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \le \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \sqrt {x - 2} + \sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \le \dfrac{{{x^2} - 3}}{2}\end{array}\)

Mặt khác \({x^2} - 3x + 3 \ge \dfrac{{{x^2} - 3}}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 9 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\)

Như vậy rõ ràng \(VP\left( * \right) \ge VT\left( * \right)\)

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\{x^2} - 2x - 1 = x - 1\\x \ge 1 + \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow y = 2\)

Thử lại ta thấy \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\) thỏa mãn hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link