Điều kiện tham số $a$ để hàm số $f(x) = x^{3} - 27ax$ có hai điểm cực trị

Câu hỏi số 773745:

Vận dụng

Điều kiện tham số $a$ để hàm số $f(x) = x^{3} - 27ax$ có hai điểm cực trị $A,B$ thoả mãn $A,O,B$ ($O$ là gốc toạ độ) thẳng hàng là

A. $a \in {\mathbb{R}}$

B. $a > 0$

C. $a < 0$

D. $- 1 < a < 0$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:773745

Giải chi tiết

Ta có: $\left. y' = 3x^{2} - 27a = 0\Leftrightarrow x^{2} = 9a \right.$

Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt ⇔ $a > 0$

Khi đó, phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

$\left\lbrack \begin{array}{l} \left. x = 3\sqrt{a}\Rightarrow y = - 54a\sqrt{a}\Rightarrow A(3\sqrt{a}; - 54a\sqrt{a}) \right. \\ \left. x = - 3\sqrt{a}\Rightarrow y = 54a\sqrt{a}\Rightarrow B( - 3\sqrt{a};54a\sqrt{a}) \right. \end{array} \right.$

⇒ Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là

$\dfrac{x + 3\sqrt{a}}{3\sqrt{a} + 3\sqrt{a}} = \dfrac{y - 54a\sqrt{a}}{- 54a\sqrt{a} - 54a\sqrt{a}}$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{x + 3\sqrt{a}}{6\sqrt{a}} = \dfrac{y - 54a\sqrt{a}}{- 108a\sqrt{a}} \right.$

$\left. \Leftrightarrow 18a(x + 3\sqrt{a}) = - y + 54a\sqrt{a} \right.$

$\left. \Leftrightarrow 18ax + y = 0\,\,(d). \right.$

Ta thấy đường thẳng $d$ luôn đi qua gốc tọa độ với mọi $a > 0.$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.