Trong không gian Oxyz, cho điểm $E(2;1;3)$, mặt phẳng $(P):2x + 2y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S)$:
Trong không gian Oxyz, cho điểm $E(2;1;3)$, mặt phẳng $(P):2x + 2y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S)$: ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 36$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $E$, nằm trong mặt phẳng $(P)$ và cắt $(S)$ tại hai điểm A, B có khoảng cách nhỏ nhất.
| Đúng | Sai | |
|---|---|---|
| a) Điểm E nằm ngoài mặt cầu (S). | ||
| b) Δ có một vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u} = ( - 1;1;0)$. | ||
| c) A, B nằm trên đường tròn giao tuyến có tâm là hình chiếu vuông góc của I lên (P). |
Đáp án đúng là: S; Đ; Đ
Quảng cáo
Mặt cầu $(S):{(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 36$, có tâm I(3;2;5) và bán kính R = 6.
Ta có: $\left. \overset{\rightarrow}{EI} = (1;1;2)\Rightarrow EI = \middle| \overset{\rightarrow}{EI} \middle| = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{6} < 6 = R \right.$. Do đó điểm E nằm trong mặt cầu (S).
Ta lại có: E ∈ (P) và $\left\{ \begin{array}{l} {E \in \Delta} \\ {\Delta \subset (P)} \end{array} \right.$
Nên giao điểm của (Δ) và (S) nằm trên đường tròn giao tuyến (C) tâm K của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S), trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P).
Giả sử $\Delta \cap (S) = \left\{ {A;B} \right\}.$ Độ dài $AB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left( {K,\Delta} \right)$ lớn nhất.
Gọi F là hình chiếu của K trên $\Delta$ khi đó: $d\left( {K,\Delta} \right) = KF \leq KE.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $F \equiv E.$
Ta có $\left. \left\{ \begin{array}{l} {IK\bot(P)} \\ {KE\bot\Delta} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {IK\bot\Delta} \\ {KE\bot\Delta} \end{array} \right.\Rightarrow IE\bot\Delta \right.$.
Ta có: $\left\lbrack {{\overset{\rightarrow}{n}}_{(P)},\overset{\rightarrow}{EI}} \right\rbrack = (5; - 5;0)$, cùng phương với $\overset{\rightarrow}{u} = (1; - 1;0).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l} {\Delta \subset (P)} \\ {\Delta\bot IE} \end{array} \right.$ nên $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u} = (1; - 1;0).$
Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{array}{l} {x = 2 + t} \\ {y = 1 - t} \\ {z = 3} \end{array} \right.$.
Đáp án cần chọn là: S; Đ; Đ
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
