Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( {2;7;5} \right)$, $B\left( {3;6;4} \right)$, $C\left( {1;8;2}

Câu hỏi số 774705:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( {2;7;5} \right)$, $B\left( {3;6;4} \right)$, $C\left( {1;8;2} \right)$, $D\left( {4;3;2} \right)$. Toạ độ điểm $M$sao cho biểu thức $T = MA^{2} + MB^{2} - MC^{2} + 2MD^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\left( {a;b;c} \right)$. Giá trị biểu thức $P = \dfrac{ab}{c}$ bằng bao nhiêu? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:774705

Phương pháp giải

Lựa chọn điểm trung gian sau đó sử dụng phương pháp vectơ.

Giải chi tiết

Gọi $I\left( {x_{I},y_{I},z_{I}} \right)$ là điểm thoả mãn $\overset{\rightarrow}{IA} + \overset{\rightarrow}{IB} - \overset{\rightarrow}{IC} + 2\overset{\rightarrow}{ID} = \overset{\rightarrow}{0}$.

Ta tính được toạ độ điểm $I:\left\{ \begin{array}{l} {x_{I} = \dfrac{x_{A} + x_{B} - x_{C} + 2x_{D}}{1 + 1 - 1 + 2} = \dfrac{2 + 3 - 1 + 8}{3} = 4} \\ {y_{I} = \dfrac{y_{A} + y_{B} - y_{C} + 2y_{D}}{1 + 1 - 1 + 2} = \dfrac{7 + 6 - 8 + 6}{3} = \dfrac{11}{3}} \\ {z_{I} = \dfrac{z_{A} + z_{B} - z_{C} + 2z_{D}}{1 + 1 - 1 + 2} = \dfrac{5 + 4 - 2 + 4}{3} = \dfrac{11}{3}} \end{array} \right.$

Ta có:

$\begin{array}{l} {T = MA^{2} + MB^{2} - MC^{2} + 2MD^{2}} \\ {T = \left( {\overset{\rightarrow}{MI} + \overset{\rightarrow}{IA}} \right)^{2} + \left( {\overset{\rightarrow}{MI} + \overset{\rightarrow}{IB}} \right)^{2} - \left( {\overset{\rightarrow}{MI} + \overset{\rightarrow}{IC}} \right)^{2} + 2\left( {\overset{\rightarrow}{MI} + \overset{\rightarrow}{ID}} \right)^{2}} \\ {T = 3MI^{2} + 2\overset{\rightarrow}{MI}\left( {\overset{\rightarrow}{IA} + \overset{\rightarrow}{IB} - \overset{\rightarrow}{IC} + 2\overset{\rightarrow}{ID}} \right) + IA^{2} + IB^{2} - IC^{2} + 2ID^{2}} \\ {T = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} - IC^{2} + 2ID^{2} \geq IA^{2} + IB^{2} - IC^{2} + 2ID^{2}} \end{array}$

Khi đó, $T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $\left. MI^{2} = 0\Leftrightarrow M \equiv I \right.$. Vậy toạ độ điểm $M$cần tìm là $M\left( {4;\,\dfrac{11}{3};\dfrac{11}{3}} \right)$.

Đáp án cần điền là: 4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.