Gọi $M(a;b)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x + 2}$ và có

Câu hỏi số 774773:

Vận dụng

Gọi $M(a;b)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x + 2}$ và có khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d:y = 3x + 6$ nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $T = 6a^{2} + 7b^{2}$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:774773

Phương pháp giải

Vì $M \in$đồ thị hàm số $\left. y = \dfrac{2x + 1}{x + 2} = 2 - \dfrac{3}{x + 2}\Rightarrow M\left( {a;2 - \dfrac{3}{a + 2}} \right). \right.$

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hệ tọa độ $Oxy.$

Giải chi tiết

Vì $M \in$đths $\left. y = \dfrac{2x + 1}{x + 2} = 2 - \dfrac{3}{x + 2}\Rightarrow M\left( {a;2 - \dfrac{3}{a + 2}} \right). \right.$

Ta có $\left. d:y = 3x + 6\Rightarrow d:3x - y + 6 = 0. \right.$

Suy ra khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d$ là:

$d_{({M,d})} = \dfrac{\left| {3a - 2 + \dfrac{3}{a + 2} + 6} \right|}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{\left| {3a + 4 + \dfrac{3}{a + 2}} \right|}{\sqrt{10}}.$

Khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d$ là nhỏ nhất khi $\left| {3a + 4 + \dfrac{3}{a + 2}} \right|$ nhỏ nhất

Xét hàm số $\left. y = 3x + 4 + \dfrac{3}{x + 2}\Rightarrow y' = 3 - \dfrac{3}{\left( {x + 2} \right)^{2}} = 0\Rightarrow\left\lbrack {\begin{matrix} \left. x = - 1\Rightarrow y = 4 \right. \\ \left. x = - 3\Rightarrow y = - 8 \right. \end{matrix}.} \right. \right.$.

Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Từ đó suy ra $\left| {3a + 4 + \dfrac{3}{a + 2}} \right|_{\min} = 4$ khi $a = - 1.$

Suy ra tọa độ điểm $M$ là $\left. M\left( {- 1; - 1} \right)\Rightarrow a = - 1;b = - 1. \right.$

Có: $T = 6a^{2} + 7b^{2} = 6.\left( {- 1} \right)^{2} + 7.\left( {- 1} \right)^{2} = 13.$

Đáp án cần điền là: 13

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.