1) Một trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của

Câu hỏi số 775190:

Vận dụng

1) Một trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy trục lăn là \(5{\rm{\;cm}}\), chiều dài trục lăn là \(23{\rm{\;cm}}\) (hình bên). Sau khi lăn trục lăn trọn \(15\) vòng trên một bức tường phẳng thì diện tích phủ sơn là bao nhiêu \({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) (giả sử các đường lăn không chồng lấn lên nhau, lấy \(\pi = 3,14)\).

2) Cho tam giác \(ABC\) nhọn. Đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(BC\) cắt \(AB\), \(AC\) lần lượt tại \(E\) và \(D\); \(BD\) cắt \(CE\) tại \(H\), \(AH\) cắt \(BC\) tại \(I\). Từ \(A\) kẻ tiếp tuyến \(AM\), \(AN\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(M,N\) là tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác \(AEHD\) nội tiếp.

b) Chứng minh \(AB.BE = BI.BC\), từ đó suy ra \(AB.BE + AC.CD = B{C^2}\)

c) Chứng minh ba điểm \(M\), \(H\), \(N\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:775190

Phương pháp giải

1) Diện tích phủ sơn = Diện tích xung quanh . 15.

2) a) Chứng minh bốn điểm \(A\), \(E\), \(H\), \(D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\), từ đó kết luận tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(AB.BE = AI.BC\) và \(AC.CD = AI.BC\) từ đó phân tích ra đpcm.

c) Chứng minh \(\angle {AHM} + \angle {AHN} = 180^\circ \) để kết luận 3 điểm thẳng hàng.

Giải chi tiết

1) Bán kính của đường tròn đáy trục lăn là \(5:2 = 2,5{\rm{\;cm}}\)
Trục lăn sơn có dạng hình trụ nên ta có:
Diện tích xung quanh trục lăn sơn là: \({S_{{\rm{xq\;}}}} = 2\pi rh\)\( = 2\pi .2,5.23\)\( = 361,1\,\,(c{m^2})\)
Sau khi lăn 15 vòng trên một bức tường phẳng thì diện tích phủ sơn là: \(361,1.15 = 5416,5\,(c{m^2})\).

a) Vì \(\angle {BEC}\) và \(\angle {BDC}\) là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên: \(\angle {BEC} = \angle {BDC} = 90^\circ \)

suy ra \(\angle {AEH} = \angle {ADH} = 90^\circ \)

Suy ra hai điểm \(E\) và \(D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)

Do đó bốn điểm \(A\), \(E\), \(H\), \(D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)

Vậy tứ giác \(AEHD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\)

b) Chứng minh \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC\) suy ra \(AI \bot BC\)

Chứng minh được \(\Delta ABI\)~\(\Delta CBE\) (g.g)

Suy ra: \(\dfrac{{AB}}{{CB}} = \dfrac{{BI}}{{BE}}\) hay \(AB.BE = AI.BC\) (1)

Tương tự: \(AC.CD = AI.BC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(AB.BE + AC.CD = BI.BC + CI.BC = \left( {BI + CI} \right).BC = B{C^2}\)

Vậy \(AB.BE + AC.CD = B{C^2}\)

c) Chứng minh 5 điểm \(A\,,\,M\,,\,I\,,\,O\,,\,N\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AO\), suy ra tứ giác\(AMIN\) nội tiếp , suy ra \(\angle {AMI} + \angle {ANI} = 180^\circ \) (*)

Chứng minh \(\Delta AEH\)~\(\Delta AIB\) (g.g), suy ra \(\dfrac{{AE}}{{AI}} = \dfrac{{AH}}{{AB}}\) hay \(AE.AB = AI.AH\) (3)

Chứng minh \(\Delta AME\)~\(\Delta ABM\) (g.g), suy ra \(\dfrac{{AE}}{{AM}} = \dfrac{{AM}}{{AB}}\) hay \(AB.AE = A{M^2}\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra hay \(\dfrac{{AM}}{{AI}} = \dfrac{{AH}}{{AM}}\)

Chứng minh \(\Delta AMI\)~\(\Delta AHM\) (c.g.c), suy ra \(\angle {AMI} = \angle {AHM}\) (**)

Tương tự: \(\angle {ANI} = \angle {AHN}\) (***)

Từ (*), (**) và (***) suy ra \(\angle {AHM} + \angle {AHN} = 180^\circ \)

Vậy ba điểm \(M\), \(H\), \(N\) thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link