Biết $\lim\limits_{n\rightarrow + \infty}\left( {\sqrt{9n^{2} + 5n + 4} - \sqrt[3]{27n^{3} + 4n^{2} + 9n + 8}}

Câu hỏi số 775729:

Vận dụng

Biết $\lim\limits_{n\rightarrow + \infty}\left( {\sqrt{9n^{2} + 5n + 4} - \sqrt[3]{27n^{3} + 4n^{2} + 9n + 8}} \right) = \dfrac{a}{b}$, với $a,\, b > 0;\left( {a,b} \right) = 1$. Khi đó, giá trị của biểu thức $S = ab$ bằng:

A. 3650.

B. 247.

C. 1998.

D. 840.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:775729

Phương pháp giải

Thêm bớt các đại lượng để sử dụng phương pháp liên hợp.

Giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} {\lim\limits_{n\rightarrow + \infty}\left( {\sqrt{9n^{2} + 5n + 4} - \sqrt[3]{27n^{3} + 4n^{2} + 9n + 8}} \right)} \\ {= \lim\limits_{n\rightarrow + \infty}\left( {\sqrt{9n^{2} + 5n + 4} - 3n - \sqrt[3]{27n^{3} + 4n^{2} + 9n + 8} + 3n} \right)} \\ {= \lim\limits_{n\rightarrow + \infty}\left( {\dfrac{9n^{2} + 5n + 4 - \left( {3n} \right)^{2}}{\sqrt{9n^{2} + 5n + 4} + 3n} - \dfrac{27n^{3} + 4n^{2} + 9n + 8 - \left( {3n} \right)^{3}}{\left( \sqrt[3]{27n^{3} + 4n^{2} + 9n + 8} \right)^{2} + 3n.\sqrt[3]{27n^{3} + 4n^{2} + 9n + 8} + \left( {3n} \right)^{2}}} \right)} \\ {= \lim\limits_{n\rightarrow + \infty}\left( {\dfrac{5n + 4}{n\left( {\sqrt{9 + \dfrac{5}{n} + \dfrac{4}{n^{2}}} + 3} \right)} - \dfrac{4n^{2} + 9n + 8}{n\left\lbrack {\left( \sqrt[3]{27 + \dfrac{4}{n} + \dfrac{9}{n^{2}} + \dfrac{8}{n^{3}}} \right)^{2} + 3.\sqrt[3]{27 + \dfrac{4}{n} + \dfrac{9}{n^{2}} + \dfrac{8}{n^{3}}} + 9} \right\rbrack}} \right)} \\ {= \dfrac{5}{3 + 3} - \dfrac{4}{3.3 + 3.3 + 3.3} = \dfrac{37}{54}} \end{array}$

Như vậy, $\left. a = 37,\, b = 54\Rightarrow S = ab = 1998 \right.$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.