Có bao nhiêu số nguyên $m$ sao cho bất phương trình $\left( {\log_{2}x - m} \right)\left( {x^{2} - mx}
Có bao nhiêu số nguyên $m$ sao cho bất phương trình $\left( {\log_{2}x - m} \right)\left( {x^{2} - mx} \right) < 0$ có ít nhất 1 nghiệm nguyên và có không quá 100 nghiệm nguyên?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Xét dấu, giải bất phương trình trên theo tham số $m$.
Điều kiện xác định của bất phương trình: $x > 0$.
Xét phương trình $f(x) = \left( {\log_{2}x - m} \right)\left( {x^{2} - mx} \right) = 0$
$\left. \Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {\log_{2}x = m} \\ {x^{2} - mx = 0} \end{array} \right.\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 2^{m}} \\ {x = 0\,\,\,\left( \text{l} \right)} \\ {x = m} \end{array} \right. \right.$
Xét hàm số $g(x) = 2^{x} - x$, có $g'(x) = 2^{x}\ln 2 - 1$. Cho $\left. g'(x) = 0\Leftrightarrow x = - \log_{2}\left( {\ln 2} \right) \right.$.
Có $\left. g\left( {- \log_{2}\left( {\ln 2} \right)} \right) \approx 0,91\Rightarrow g(x) > 0\,\,\forall x \in R \right.$
Khi đó, ta chứng minh được $2^{m} > m\,\,\forall m \in {\mathbb{R}}$. Ta có bảng xét dấu:
Với $m \leq 0$:
Khi đó, tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {0;2^{m}} \right)$.
Do $2^{m} \leq 2^{0} = 1$ nên bất phương trình không có nghiệm nguyên.
Với $m > 0$:
Khi đó, tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {m;2^{m}} \right)$.
Với điều kiện $m$ là số nguyên, số nghiệm nguyên của bất phương trình là $2^{m} - 1 - \left( {m + 1} \right) + 1 = 2^{m} - m - 1$.
Giải hệ $\left. \left\{ \begin{array}{l} {m > 0} \\ {m \in {\mathbb{Z}}} \\ {0 < 2^{m} - m - 1 \leq 100} \end{array} \right.\Leftrightarrow m \in \left\{ {2;3;4;5;6} \right\} \right.$.
Như vậy, có 5 giá trị nguyên của $m$thoả mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
