Cho \(\Delta ABC\) có \(I\) là giao của 3 đường phân giác. Đường thẳng qua \(I\) cắt các đường

Câu hỏi số 776601:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có \(I\) là giao của 3 đường phân giác. Đường thẳng qua \(I\) cắt các đường thẳng \(BC,\,\,CA,\,\,AB\) tại \(D,\,\,E,\,\,F\) sao cho \(D,\,\,E\) nằm cùng phía \(I\). Chứng minh \(\dfrac{{BC}}{{ID}} + \dfrac{{AC}}{{IE}} = \dfrac{{AB}}{{IF}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776601

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất phân giác trong và phân giác ngoài.

Giải chi tiết

Xét \(\Delta BFD\) có \(BI\) là phân giác \(\angle FBD\) ta có \(\dfrac{{BD}}{{ID}} = \dfrac{{BF}}{{IF}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Xét \(\Delta CDE\) có \(CI\) là phân giác ngoài tại đỉnh \(C\) nên \(\dfrac{{CE}}{{EI}} = \dfrac{{CD}}{{ID}}\) (tính chất đường phân giác ngoài)

Xét \(\Delta AEF\) có \(AI\) là đường phân giác của \(\angle FAE\) nên \(\dfrac{{AF}}{{IF}} = \dfrac{{AE}}{{IE}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{BC}}{{ID}} = \dfrac{{BD - CD}}{{ID}} = \dfrac{{BD}}{{ID}} - \dfrac{{CD}}{{ID}} = \dfrac{{BF}}{{IF}} - \dfrac{{CE}}{{IE}}\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{AC}}{{IE}} = \dfrac{{AE + EC}}{{IE}} = \dfrac{{AE}}{{IE}} + \dfrac{{EC}}{{IE}} = \dfrac{{AF}}{{IF}} + \dfrac{{EC}}{{IE}}\,\,\left( 2 \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{ID}} + \dfrac{{AC}}{{IE}} = \dfrac{{BF}}{{IF}} + \dfrac{{AF}}{{IF}} = \dfrac{{AB}}{{IF}}\end{array}\)

Vậy \(\dfrac{{BC}}{{ID}} + \dfrac{{AC}}{{IE}} = \dfrac{{AB}}{{IF}}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link