Cho \(\Delta ABC\) có \(I\) là giao của 3 đường phân giác. Đường thẳng qua \(I\) cắt các đường

Câu hỏi số 776601:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có \(I\) là giao của 3 đường phân giác. Đường thẳng qua \(I\) cắt các đường thẳng \(BC,\,\,CA,\,\,AB\) tại \(D,\,\,E,\,\,F\) sao cho \(D,\,\,E\) nằm cùng phía \(I\). Chứng minh \(\dfrac{{BC}}{{ID}} + \dfrac{{AC}}{{IE}} = \dfrac{{AB}}{{IF}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776601

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất phân giác trong và phân giác ngoài.

Giải chi tiết

Xét \(\Delta BFD\) có \(BI\) là phân giác \(\angle FBD\) ta có \(\dfrac{{BD}}{{ID}} = \dfrac{{BF}}{{IF}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Xét \(\Delta CDE\) có \(CI\) là phân giác ngoài tại đỉnh \(C\) nên \(\dfrac{{CE}}{{CI}} = \dfrac{{CD}}{{ID}}\) (tính chất đường phân giác ngoài)

Xét \(\Delta AEF\) có \(AI\) là đường phân giác của \(\angle FAE\) nên \(\dfrac{{AF}}{{IF}} = \dfrac{{AE}}{{IE}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{BC}}{{ID}} = \dfrac{{BD - CD}}{{ID}} = \dfrac{{BD}}{{ID}} - \dfrac{{CD}}{{ID}} = \dfrac{{BF}}{{IF}} - \dfrac{{CE}}{{IE}}\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{AC}}{{IE}} = \dfrac{{AE + EC}}{{IE}} = \dfrac{{AE}}{{IE}} + \dfrac{{EC}}{{IE}} = \dfrac{{AF}}{{IF}} + \dfrac{{EC}}{{IE}}\,\,\left( 2 \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{ID}} + \dfrac{{AC}}{{IE}} = \dfrac{{BF}}{{IF}} + \dfrac{{AF}}{{IF}} = \dfrac{{AB}}{{IF}}\end{array}\)

Vậy \(\dfrac{{BC}}{{ID}} + \dfrac{{AC}}{{IE}} = \dfrac{{AB}}{{IF}}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.