Trong không gian $\text{Ox}yz$, cho các mặt phẳng $(P):x - y + 2z + 1 = 0$, $(Q):2x + y + z - 1 = 0$. Gọi $(S)$

Câu hỏi số 776785:

Vận dụng

Trong không gian $\text{Ox}yz$, cho các mặt phẳng $(P):x - y + 2z + 1 = 0$, $(Q):2x + y + z - 1 = 0$. Gọi $(S)$ là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời $(S)$ cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 và $(S)$ cắt mặt phẳng $(Q)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính $r$. Để chỉ có đúng 1 mặt cầu $(S)$ thỏa mãn yêu cầu thì giá trị của $r$ là

A. $\sqrt{3}$.

B. $\sqrt{2}$.

C. $\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.

D. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776785

Phương pháp giải

- Gọi I là tâm mặt cầu (S). Ta có I(a;0;0)

- Sử dụng các tính chất về vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng.

Giải chi tiết

Gọi $I$ là tâm mặt cầu $(S)$. Ta có $I(a;0;0)$

Do $(S)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến là đường tròn bán kính 2 nên ta có:

$\left. 4 = R^{2} - {\lbrack d(I,(P))\rbrack}^{2}\Leftrightarrow 4 = R^{2} - \dfrac{{(a + 1)}^{2}}{6}\Rightarrow R^{2} = 4 + \dfrac{{(a + 1)}^{2}}{6} \right.$

Do $(S)$ cắt $(Q)$ theo giao tuyến là đường tròn bán kính $r$ nên ta có:

$\left. r^{2} = R^{2} - {\lbrack d(I,(Q))\rbrack}^{2}\Leftrightarrow r^{2} = R^{2} - \dfrac{{(2a - 1)}^{2}}{6}(2) \right.$

Từ (1) và (2) ta có $\left. r^{2} = 4 + \dfrac{{(a + 1)}^{2}}{6} - \dfrac{{(2a - 1)}^{2}}{6}\Leftrightarrow - a^{2} + 2a + 8 - 2r^{2} = 0 \right.$ (3)

Để có duy nhất một mặt cầu (S) thỏa mãn thì phương trình (3) phải có duy nhất 1 nghiệm (S)

$\left. \Rightarrow\Delta' = 9 - 2r^{2} = 0\Rightarrow r = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \right.$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.