Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại ít nhất 8 số

Câu hỏi số 776798:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại ít nhất 8 số nguyên $b \in ( - 10;10)$ thỏa mãn: $5^{a^{2} - 2a - 3 + b} \leq 3^{b + a} + 598$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 7

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776798

Giải chi tiết

Ta có: $5^{a^{2} - 2a - 3 + b} \leq 3^{b + a} + 598$ $\left. \Leftrightarrow 5^{a^{2} - 2a - 3 + b} - 3^{b + a} - 598 \leq 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 5^{a^{2} - 3a - 3} - \dfrac{3^{b + a}}{5^{b + a}} - \dfrac{598}{5^{b + a}} \leq 0 \right.$ $\left. \Leftrightarrow\ - \left( \dfrac{3}{5} \right)^{b + a} - 598 \cdot \left( \dfrac{1}{5} \right)^{b + a} + 5^{a^{2} - 3a - 3} \leq 0 \right.$

Xét hàm số $f(b) = \ - \left( \dfrac{3}{5} \right)^{b + a} - 598 \cdot \left( \dfrac{1}{5} \right)^{b + a} + 5^{a^{2} - 3a - 3}$ $,b \in ( - 10;10)$.

Có: $f'(b) = \ - \ln\left( \dfrac{3}{5} \right) \cdot \left( \dfrac{3}{5} \right)^{b + a}$ $- 598\ln\left( \dfrac{1}{5} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{5} \right)^{b + a} > 0$ $\forall b \in \left( {- 10;10} \right)$

Do đó $f(b)$ đồng biến.

Vì $b \in ( - 10;10)$ nên để $f(b) \leq 0$ có ít nhất 8 giá trị nguyên thỏa mãn thì

$f( - 2) \leq 0$$\left. \Leftrightarrow 5^{a^{2} - 2a - 3 - 2} \leq 3^{- 2 + a} + 598 \right.$

$\left. \Rightarrow 5^{a^{2} - 2a - 3 - 2} - 3^{- 2 + a} - 598 \leq 0 \right.$

Khảo sát hàm số $g(a) = 5^{a^{2} - 2a - 5} - 3^{- 2 + a} - 598$

Ta thấy $g'(a) = 0$ tại đúng 1 điểm thuộc khoảng (3;4) (Dùng casio tìm nghiệm).

Sử dụng chức năng TABLE với $\left. a \in {\mathbb{Z}}\Rightarrow a \in \left\{ \ - 2; - 1;0;1;2;3;4 \right\} \right.$.

Vậy có 7 giá trị nguyên của $a$.

Đáp án cần điền là: 7

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.