Giá trị của giới hạn $L = \lim\left\lbrack {\left( {1 - \dfrac{1}{2^{2}}} \right)\left( {1 -

Câu hỏi số 776801:

Vận dụng

Giá trị của giới hạn $L = \lim\left\lbrack {\left( {1 - \dfrac{1}{2^{2}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{3^{2}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{n^{2}}} \right)} \right\rbrack$ bằng $\dfrac{a}{b}$ (phân số tối giản). Khi đó, tổng $a + b$ bằng:

Đáp án:

Đáp án đúng là: 3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776801

Phương pháp giải

Xét dãy số $\left( u_{n} \right)$, với $u_{n} = \left( {1 - \dfrac{1}{2^{2}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{3^{2}}} \right)\ldots\left( {1 - \dfrac{1}{n^{2}}} \right),n \geq 2,n \in {\mathbb{N}}$.

Sử dụng phương pháp quy nạp để tìm SHTQ của dãy số $u_n$.

Sử dụng quy tắc tính giới hạn hàm phân thức, từ đó xác định được a và b.

Giải chi tiết

Ta có:

$u_{2} = 1 - \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{2 + 1}{2.2}$

$u_{3} = \left( {1 - \dfrac{1}{2^{2}}} \right) \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{3^{2}}} \right) = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{9} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{3 + 1}{2 \cdot 3}$;

$u_{4} = \left( {1 - \dfrac{1}{2^{2}}} \right) \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{3^{2}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{4^{2}}} \right) = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{15}{16} = \dfrac{5}{8} = \dfrac{4 + 1}{2 \cdot 4}$

$u_{n} = \dfrac{n + 1}{2n}$.

Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định $u_{n} = \dfrac{n + 1}{2n},\forall n \geq 2$

Khi đó $\lim\left\lbrack {\left( {1 - \dfrac{1}{2^{2}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{3^{2}}} \right)\ldots\left( {1 - \dfrac{1}{n^{2}}} \right)} \right\rbrack^{\top} = \lim\dfrac{n + 1}{2n} = \dfrac{1}{2}$.

Vậy a = 1, b = 2 nên a + b = 3.

Đáp án cần điền là: 3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.