Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(S):x^{2} + y^{2} +

Câu hỏi số 776803:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2022$. Có …….. điểm $M(a;b;c)$ với $a + b + c > 0$ thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho tiếp diện của $(S)$ tại $M$ và cắt các trục $Ox,\, Oy,\, Oz$ lần lượt tại $A,B,\, C$ có thể tích khối tứ diện $OABC$ là nhỏ nhất.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776803

Phương pháp giải

Đang cập nhật…

Giải chi tiết

Gọi $A(m;0;0),B(0;n;p),C(0;0;p)$

Phương trình mặt phằng $(ABC)$ là $\dfrac{x}{m} + \dfrac{y}{n} + \dfrac{z}{p} = 1$.

Điểm $M \in (ABC)$ nên $\dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{n} + \dfrac{c}{p} = 1$ (1).

Vì mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(ABC)$ nên

$d\lbrack O,(ABC)\rbrack = R$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{m^{2}} + \dfrac{1}{n^{2}} + \dfrac{1}{p^{2}}}} = \sqrt{2022} \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{1}{2022} = \dfrac{1}{m^{2}} + \dfrac{1}{n^{2}} + \dfrac{1}{p^{2}} \geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{{(mnp)}^{2}}} \right.$

$\left. \Leftrightarrow \middle| mnp \middle| \geq \sqrt{6066^{3}} \right.$

Thể tích OABC là $\left. V_{OABC} = \dfrac{1}{6} \middle| mnp \middle| \geq \dfrac{\sqrt{6066^{3}}}{6} \right.$.

Dấu "=" xày ra khi và chỉ khi $\left| m \middle| = \middle| n \middle| = \middle| p \middle| = \sqrt{6066} \right.$.

Vậy có 4 điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần điền là: 4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.