Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ xác định bởi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} = 1}\\

Câu hỏi số 776804:

Vận dụng cao

Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ xác định bởi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} = 1}\\ {{u_{n + 1}} = \sqrt {3u_n^2 + 2} {\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} n \ge 1} \end{array}} \right.$. Tính tổng $S = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} + ... + u_{2022}^{2}$:

A. $3^{2022} - 2023$.

B. $3^{2022} - 2022$.

C. $3^{2022}$.

D. $3^{2023} - 2022$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776804

Giải chi tiết

Ta có: $u_{n+1} = \sqrt {3u_n^2 + 2}$

=> $u_{n+1}^2 = 3u_n^2 + 2$

=> $u_{n+1}^2 +1 = 3(u_n^2 + 1)$

Xét dãy số $\left( v_{n} \right)$ với $v_{n} = u_{n}^{2} + 1$

$\Rightarrow$$\left( v_{n} \right)$ là cấp số nhân có số hạng đầu $v_{1} = u_{1}^{2} + 1 = 2$ và công bội $q = 3$.

Vậy $S = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} + ... + u_{2022}^{2}$ $= v_{1} - 1 + v_{2} - 1 + v_{3} - 1 + ... + v_{2022} - 1$

$= v_{1} + v_{2} + v_{3} + ... + v_{2022} - 2022$ $= v_{1}.\dfrac{q^{2022} - 1}{q - 1} - 2022 = 2.\dfrac{3^{2022} - 1}{2} - 2022$ $= 3^{2022} - 2023$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.