Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn $\log_{3}\left( {x +

Câu hỏi số 776925:

Thông hiểu

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn

$\log_{3}\left( {x + y^{2} + 3y} \right) + 2\log_{2}(x + y^{2}) \leq \log_{3}y + 2\log_{2}\left( {x + y^{2} + 6y} \right)$

A. $35.$

B. $70.$

C. $34.$

D. $68.$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776925

Phương pháp giải

Giải bất phương trình logarit.

Giải chi tiết

Ta có:

$\log_{3}\left( {x + y^{2} + 3y} \right) + 2\log_{2}(x + y^{2}) \leq \log_{3}y + 2\log_{2}\left( {x + y^{2} + 6y} \right)$

$\left. \Leftrightarrow\log_{3}\left( {x + y^{2} + 3y} \right) - \log_{3}y \leq 2\log_{2}\left( {x + y^{2} + 6y} \right) - 2\log_{2}\left( {x + y^{2}} \right) \right.$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow\log_{3}\left( {\dfrac{x + y^{2}}{y} + 3} \right) \leq 2\log_{2}\left( {1 + \dfrac{6y}{x + y^{2}}} \right) \right. \\ \left. \Leftrightarrow\log_{3}\left( {\dfrac{x + y^{2}}{y} + 3} \right) - 2\log_{2}\left( {1 + \dfrac{6y}{x + y^{2}}} \right) \leq 0 \right. \end{array}$

Ta đặt $t = \dfrac{x + y^{2}}{y},t > 0$

Khi đó bất phương trình trờ thành $\log_{3}\left( {3 + t} \right) - 2\log_{2}\left( {1 + \dfrac{6}{t}} \right) \leq 0$ $(1)$.

Xét hàm số $f(t) = \log_{3}\left( {3 + t} \right) - 2\log_{2}\left( {1 + \dfrac{6}{t}} \right).$

Suy ra $f^{'}(t) = \dfrac{1}{\left( {3 + t} \right)\ln 3} + \dfrac{12}{\left( {t^{2} + 6t} \right)\ln 2} > 0,\forall t > 0$.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty} \right)$

Ta có : $f(6) = \log_{3}9 - 2\log_{2}2 = 0$.

Suy ra $\left. f(t) \leq f(6)\Leftrightarrow t \leq 6\Leftrightarrow\dfrac{x + y^{2}}{y} \leq 6\Leftrightarrow x + {(y - 3)}^{2} \leq 9 \right.$

Ta đếm các cặp giá trị nguyên dương của $(x;y)$

Ta có $\left. \left( {y - 3} \right)^{2} < 9\Leftrightarrow 0 < y < 6\Rightarrow y \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\} \right.$

Với $\left. y = 1;y = 5\Rightarrow x \leq 5\Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\} \right.$ suy ra có 10 cặp thỏa mãn.

Với $\left. y = 2;y = 4\Rightarrow x \leq 8\Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\} \right.$ suy ra có 16 cặp thỏa mãn.

Với $\left. y = 3\Rightarrow x \leq 9\Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\} \right.$ suy ra có 9 cặp thỏa mãn.

Vậy có tất cả 35 cặp giá trị nguyên dương thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.