Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều, $A'A = A'B = A'C = a\sqrt{7}$ và $B'C$ tạo với
Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều, $A'A = A'B = A'C = a\sqrt{7}$ và $B'C$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc $30^{o}$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $G$ là trọng tâm tam giác đều $ABC$ suy ra $A'G\bot(ABC)$
Đặt $x = A'G,x > 0$. Từ $B'B^{2} + BC^{2} = B'C^{2}$ tìm x theo a từ đó tính thể tích.
Ta có $A'A = A'B = A'C = a\sqrt{7}$ nên $A'$ cách đều ba điểm $A,B,C$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $G$ là trọng tâm tam giác đều $ABC$ suy ra $A'G\bot(ABC)$
Gọi $H$ là hình chiếu của $B'$ lên $(ABC)$, $\left. B'C \cap (ABC) = C\Rightarrow HC \right.$ là hình chiếu của $B'C$ lên $(ABC)$.
Suy ra $\left( \widehat{B'C;(ABC)} \right) = \left( \widehat{B'C;HC} \right) = 30^{o},$
và $B'H = d\left( {B';(ABC)} \right) = d\left( {A';(ABC)} \right) = A'G$ ( vì $A'B'//(ABC)$)
Xét tam giác $B'HC$ vuông tại $H$ ta có:
$\sin 30^{o} = \dfrac{d\left( {B';(ABC)} \right)}{B'C} = \dfrac{d\left( {A';(ABC)} \right)}{B'C} = \dfrac{A'G}{B'C}.$
Suy ra $B'C = 2A'G,$ đặt $\left. x = A'G,x > 0\Rightarrow B'C = 2x. \right.$
Mà ta thấy $\left. BC\bot(A'AM)\Rightarrow BC\bot A'A\Rightarrow BC\bot B'B\Rightarrow B'BC'C \right.$ là hình chữ nhật.
Xét tam giác $A'AG$ vuông tại $G$, suy ra $\left. AG = \sqrt{A'A^{2} - A'G^{2}} = \sqrt{7a^{2} - x^{2}}\Rightarrow AM = \dfrac{3}{2}AG = \dfrac{3}{2}\sqrt{7a^{2} - x^{2}} \right.$
$\left. \Rightarrow AB = BC = AC = \sqrt{3\left( {7a^{2} - x^{2}} \right)}. \right.$
Xét tam giác $B'BC$ vuông tại $B$$\left. \Leftrightarrow B'B^{2} + BC^{2} = B'C^{2} \right.$
$\left. \Leftrightarrow 7a^{2} + 3\left( {7a^{2} - x^{2}} \right) = 4x^{2}\Leftrightarrow x = 2a \right.$
Suy ra $\left. A'G = 2a\Rightarrow AB = BC = AC = 3a\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}a^{2}. \right.$
Vậy $V_{ABC.A'B'C'} = A'G \cdot S_{ABC} = 2a \cdot \dfrac{9\sqrt{3}}{4}a^{2} = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}a^{3}.$
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
