Cho $\log_{2}^{2}(xy) = \log_{2}\left( \dfrac{x}{4} \right)\log_{2}(4y)$. Biểu thức $P = \log_{3}(x + 4y + 4) +

Câu hỏi số 779369:

Vận dụng

Cho $\log_{2}^{2}(xy) = \log_{2}\left( \dfrac{x}{4} \right)\log_{2}(4y)$. Biểu thức $P = \log_{3}(x + 4y + 4) + \log_{2}(x - 4y - 1)$ có giá trị bằng

A. 3.

B. 2.

C. $\ln\dfrac{3}{2}$.

D. $\log_{3}6 + 1$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:779369

Phương pháp giải

Biến đổi bằng tính chất logarit

Giải chi tiết

Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix} {x > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\ {y > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\ {x - 4y - 1 > 0} \end{matrix} \right.$.

Ta có $\left. \log_{2}^{2}(xy) = \log_{2}\left( \dfrac{x}{4} \right)\log_{2}(4y)\Leftrightarrow\left( {\log_{2}x + \log_{2}y} \right)^{2} = \left( {\log_{2}x - 2} \right)\left( {\log_{2}y + 2} \right)\,\,\,(1) \right.$ .

Đặt $\log_{2}x = a;\log_{2}y = b$, ta có (1) trở thành :

$\left. {(a + b)}^{2} = (a - 2)(b + 2)\Leftrightarrow a^{2} + ab - 2a + b^{2} + 2b + 4 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2a^{2} + 2ab - 4a + 2b^{2} + 4b + 8 = 0\Leftrightarrow{(a + b)}^{2} + {(a - 2)}^{2} + {(b + 2)}^{2} = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a + b = 0} \\ {a - 2 = 0} \\ {b + 2 = 0} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} {a = 2} \\ {b = - 2} \end{matrix} \right. \right. \right.$.

Với $\left\{ \begin{matrix} {a = 2\,\,} \\ {b = - 2} \end{matrix} \right.$ , ta có $\left\{ \begin{matrix} {log_{2}x = 2\,\,\,} \\ {log_{2}y = - 2} \end{matrix}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = 4} \\ {y = \dfrac{1}{4}} \end{array} \right. \right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Khi đó $P = \log_{3}\left( {4 + 4.\dfrac{1}{4} + 4} \right) + \log_{2}\left( {4 - 4.\dfrac{1}{4} - 1} \right) = 3$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.