Phương trình $\log_{2}\left( {3^{\log_{6}x} + x} \right) = \dfrac{1}{2}\log_{6}x^{2}$ có bao nhiêu

Câu hỏi số 779388:

Vận dụng

Phương trình $\log_{2}\left( {3^{\log_{6}x} + x} \right) = \dfrac{1}{2}\log_{6}x^{2}$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:779388

Phương pháp giải

Biến đổi logarit từ đó đưa về hàm đặc trưng

Giải chi tiết

Điều kiện $x > 0$.

$\log_{2}\left( {3^{\log_{6}x} + x} \right) = \dfrac{1}{2}\log_{6}x^{2}$

$\left. \Leftrightarrow\log_{2}\left( {3^{\log_{6}x} + x} \right) = \log_{6}x. \right.$

Đặt $\left. t = \log_{6}x\Rightarrow x = 6^{t} \right.$ ta được phương trình

$\left. \log_{2}\left( {3^{t} + 6^{t}} \right) = t\Leftrightarrow 3^{t} + 6^{t} = 2^{t}\Leftrightarrow\left( \dfrac{3}{2} \right)^{t} + 3^{t} = 1\,\,\,(*) \right.$.

Xét hàm số $f(t) = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{t} + 3^{t}$

$\left. f'(t) = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{t}\ln\dfrac{3}{2} + 3^{t}\ln 3 > 0\,\,\forall t \in {\mathbb{R}}\Rightarrow f(t) \right.$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Phương trình $(*)$ trở thành $f(t) = f( - 1)$ mà $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $(*)$ có nghiệm duy nhất $t = - 1$.

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm $x = 6^{- 1} = \dfrac{1}{6}$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.