Từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O;R)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB,{\mkern 1mu} AC$ với $B,{\mkern

Câu hỏi số 780657:

Vận dụng

Từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O;R)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB,{\mkern 1mu} AC$ với $B,{\mkern 1mu} C$ là các tiểp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của BC với $OA;I$ là giao điểm của đoạn thẳng OA với $(O)$.

a) Chứng minh BI là tia phân giác của góc ABH.

b) Kẻ đường kính BD của (O). Tiếp tuyến với (O) tại D cắt đường thẳng BC tại điểm E. Chứng minh AD vuông góc với OE.

c) Trong trường hợp góc BDC bằng $60{^\circ}$, hãy tính theo $R$ diện tích phần hình phẳng nằm phía trong tam giác ABC và nằm phía ngoài $(O)$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780657

Phương pháp giải

a),b) Chứng minh $\left. \Delta ABO \right.\sim\Delta BDE$ (g.g) suy ra $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BO}{DE}$.

Từ đó suy ra $\left. \Delta ABD \right.\sim\Delta ODE$ (c.g.c) để có $\widehat{ADB} = \widehat{OED}$ rồi suy ra $\widehat{ADB} + \widehat{EOD} = 90{^\circ}$.

c) Lấy diện tích tam giác ABC trừ đi diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ BC của $(O)$

Giải chi tiết

a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì OA là đường trung trực của BC, suy ra OA vuông góc với BC tại điểm H.

Tam giác OBI cân tại O nên $\widehat{OIB} = \widehat{OBI}$

Vi $\widehat{OBI} + \widehat{IBA} = 90{^\circ}$ và $\widehat{IBH} + \widehat{OIB} = 90{^\circ}$ nên $\widehat{IBA} = \widehat{IBH}$ hay BI là tia phân giác của góc ABH.

b) Vì $\widehat{ABO} = \widehat{BDE} = 90{^\circ}$ và $\widehat{BAO} = \widehat{DBE}$ nên $\left. \Delta ABO \right.\sim\Delta BDE$ (g.g) suy ra $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BO}{DE}$.

Vì $BO = DO$ nên $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{DO}{DE}$

Kết hợp với $\widehat{ABD} = \widehat{ODE} = 90{^\circ}$ ta suy ra $\left. \Delta ABD \right.\sim\Delta ODE$ (c.g.c).

Từ đó ta có $\widehat{ADB} = \widehat{OED}$ và $\widehat{ADB} + \widehat{EOD} = \widehat{OED} + \widehat{EOD} = 90{^\circ}$.

Vậy EO vuông góc với AD.

c) Tam giác BCD vuông tại $C$ và góc BDC bằng $60{^\circ}$ nên $BC = R\sqrt{3}$.

Tam giác A B C cân tại $A$, góc A B C bằng $60{^\circ}$ nên tam giác A B C đều có cạnh bằng $R\sqrt{3}$.

$S_{OAB} = \dfrac{1}{2} \cdot OB \cdot BA = \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot R\sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3}R^{2}}{2}$

$S_{OAC} = \dfrac{1}{2} \cdot OC \cdot CA = \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot R\sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3}R^{2}}{2}$

$S_{OBAC} = S_{OAB} + S_{OAC} = \sqrt{3}R^{2}$

Do $sd\overset{\frown}{BIC} = 120{^\circ}$ nên diện tích hình quạt tròn BOC giới hạn bởi hai bán kính OB, OC và cung BIC là $\dfrac{\pi R^{2} \cdot 120}{360} = \dfrac{\pi R^{2}}{3}$

Vậy diện tích cần tìm là $\sqrt{3}R^{2} - \dfrac{\pi R^{2}}{3} = R^{2}\left( {\sqrt{3} - \dfrac{\pi}{3}} \right)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link