Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên nửa đường tròn $(O)$ lấy điểm C bất kì ($C$

Câu hỏi số 780690:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên nửa đường tròn $(O)$ lấy điểm C bất kì ($C$ khác $A$ và $B$), trên cung AC lấy điểm M sao cho $cung\, MC = cung\, MA$. Hai đường thẳng BC và AM cắt nhau

tại E, hai đường thẳng BM và AC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh BM là tia phân giác của $\widehat{ABC}$;

b) Chứng minh $ME^{2} = MH.MB$;

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BEH cắt nửa đường tròn $(O)$ tại F, tia EF cắt AB tại P, hai đường thẳng BM và AF cắt nhau tại Q. Chứng minh PQ $\bot$ AB.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780690

Phương pháp giải

a) Dựa vào góc nội tiếp chắn cung bằng nhau.

b) Chứng minh $\Delta$vuông MAH đồng dạng với $\Delta$vuông MBA.

c) Chứng minh $\Delta$QAP và $\Delta$ABF đồng dạng với nhau, suy ra $\widehat{QPA} = \widehat{BFA}$ mà $\widehat{BFA} = 90{^\circ}$ nên QP $\bot$ AB.

Giải chi tiết

a) $\widehat{CBM}$ và $\widehat{ABM}$ nội tiếp đường tròn $(O)$ chắn hai cung CM và MA

Mà $cung\, MC = cung\, MA$ nên $\widehat{CBM} = \widehat{ABM}$ hay BM là phân giác của $\widehat{ABC}$.

b) M thuộc nửa đường tròn đường kính AB nên $\widehat{BMA} = 90{^\circ}$ hay $\widehat{BMA} = \widehat{BME} = 90{^\circ}$

Xét $\Delta$vuông BMA và $\Delta$vuông BME có $\widehat{MBA} = \widehat{MBE}$ và BM chung nên $\Delta$BMA = $\Delta$BME do đó $ME = MA.$

Ta có $\widehat{MAC} = \widehat{MBA}$ (hai góc nội tiếp $(O)$chắn hai cung bằng nhau) nên

$\Delta$vuông MAH đồng dạng với $\Delta$vuông MBA do đó $\dfrac{MH}{MA} = \dfrac{MA}{MB}$ hay $MA^{2} = MH.MB$ mà $MA = ME$ nên $ME^{2} = MH.MB.$

c) + Ta có $\widehat{PFA} = \widehat{FAE} + \widehat{FEA}$ (góc ngoài $\Delta AEF$) (1).

$\widehat{FAE} = \widehat{FBM}$(nội tiếp (O) cùng chắn $\widehat{FM}$) và $\widehat{FBM} = \widehat{FEH}$(nội tiếp đường tròn ngoại tiếp $\Delta$BHE cùng chắn cung HF) suy ra $\widehat{FAE} = \widehat{FEH}$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{PFA} = \widehat{FAE} + \widehat{FEA} = \widehat{FEH} + \widehat{FEA} = \widehat{HEA}$ (3).

+ Theo ý b)$ME^{2} = MH.MB$ nên $\dfrac{ME}{MH} = \dfrac{MB}{ME}$ kết hợp với $\widehat{EMH} = \widehat{BME} = 90{^\circ}$

do đó $\Delta$MEH đồng dạng với$\Delta$MBE nên $\widehat{MEH} = \widehat{MBE}$ mà theo chứng minh phần a) ta có $\widehat{MBE} = \widehat{MBA}$ suy ra $\widehat{MBA} = \widehat{MEH} = \widehat{HEA}\,\,(4).$

Từ (3), (4) ta được $\widehat{PFA} = \widehat{MBA}$.

Xét $\Delta$AFP và $\Delta$ABQ có $\widehat{PFA} = \widehat{MBA}$ và $\widehat{A\,}$chung nên $\Delta$AFP đồng dạng với $\Delta$ABQ suy ra $\dfrac{AP}{AF} = \dfrac{AQ}{AB}$.

Xét $\Delta$QAP và $\Delta$ABF có $\dfrac{AP}{AF} = \dfrac{AQ}{AB}$ và $\widehat{A\,}$ chung nên $\Delta$QAP đồng dạng với$\Delta$ ABF suy ra $\widehat{QPA} = \widehat{BFA}$ mà $\widehat{BFA} = 90{^\circ}$ nên QP $\bot$ AB.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link