Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy

Câu hỏi số 780708:

Vận dụng

Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy $x(~\text{cm})(0 \leq x \leq 16)$ thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $R = 10 + \sqrt{x}(~\text{cm})$. Tìm $x$ (đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng $\dfrac{1}{2}$ thể tích của chậu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780708

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ và tính thể tích bằng tích phân khối tròn xoay.

Giải chi tiết

Chọn trục $Ox$ sao cho $O$ trùng với tâm đáy, chiều dương của trục là chiều hướng lên trên.

Khi cắt chậu nước bằng mặt phẳng song song với đáy và cách mặt đáy $x$ cm thì mặt phẳng đó cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x.~$

Mặt cắt là hình tròn có bán kính $10 + \sqrt{x}$(cm).

Suy ra diện tích của mặt cắt là: $S(x) = \pi\left( {10 + \sqrt{x}} \right)^{2}$

Suy ra thể tích của chậu là $V = {\int\limits_{0}^{16}{S(x)dx}} = {\int\limits_{0}^{16}{\pi\left( {10 + \sqrt{x}} \right)^{2}}}dx = \dfrac{7744}{3}\pi.$

Gọi $h$ là chiều cao của nước ở trong chậu, để dung tích nước trong chậu bằng $\dfrac{1}{2}$thể tích của chậu thì:

${\int\limits_{0}^{h}{S(x)dx}} = {\int\limits_{0}^{h}{\pi\left( {10 + \sqrt{x}} \right)^{2}}}dx = \dfrac{1}{2}.\dfrac{7744}{3}\pi = \dfrac{3872}{3}\pi.$

$\left. \Rightarrow\dfrac{1}{2}h^{2} + \dfrac{40}{3}h\sqrt{h} + 100h = \dfrac{3872}{3}\Rightarrow h \approx 8,94. \right.$

Đáp án cần điền là: 8,94

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.