Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng $a\sqrt{2}$, cạnh bên $SA = 2a$. Côsin

Câu hỏi số 780709:

Vận dụng

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng $a\sqrt{2}$, cạnh bên $SA = 2a$. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng $(SDC)$ và $(SAC)$ bằng $\sqrt{\dfrac{b}{c}}$ với phân số $\dfrac{b}{c}$ tối giản, $b > 0,c > 0$. Tính $T = b + 2c$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780709

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng, từ đó tính cosin.

Giải chi tiết

Gọi $O = AC \cap BD$. Hạ $DH\bot SC$ tại $H.$

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\left. BD\bot AC\Rightarrow BO\bot AC \right.$ mà $BO\bot SO$ suy ra $\left. DO\bot\left( {SAC} \right)\Rightarrow DO\bot SC. \right.$

Ta có $\left. DO\bot SC,~DH\bot SC\Rightarrow SC\bot\left( {DHO} \right)\Rightarrow SC\bot OH. \right.$ Có:

$\left. \left. \begin{matrix} {\left( {SCD} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SC} \\ {DH \subset \left( {SCD} \right),DH\bot SC} \\ {OH \subset \left( {SAC} \right),OH\bot SC} \end{matrix} \right\}\Rightarrow\angle\left( {(SCD),(SAC)} \right) = \widehat{OHD}. \right.$

Cần tính $\cos\widehat{OHD} = \dfrac{OH}{HD}.$

Vì $ABCD~$hình vuông cạnh bằng $a\sqrt{2}$ suy ra $\left. AC = 2a\Rightarrow OC = a. \right.$

Xét tam giác $SAC$ có: $\left. SA = SC = AC = 2A\Rightarrow \right.$ tam giác $SAC$ đều có đường cao $\left. SO\Rightarrow SO = a\sqrt{3}. \right.$

Xét tam giác $SOC$ vuông tại $O$ có đường cao $OH:~$$\left. OH.SC = OS.OC\Rightarrow OH = \dfrac{OS.OC}{SC} = \dfrac{a\sqrt{3}.a}{2a} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}. \right.$

Gọi $N$ là trung điểm của $CD~$suy ra $CN = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$

Xét tam giác $SCD$ cân tại $S$ có $N$ là trung điểm $CD$ suy ra $SN\bot CD.$

Suy ra $\left. \cos\widehat{SCN} = \dfrac{CN}{SC} = \dfrac{CH}{CD}\Rightarrow\dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{CH}{a\sqrt{2}}\Rightarrow CH = \dfrac{1}{2}a\Rightarrow DH = \sqrt{CD^{2} - CH^{2}} = \dfrac{a\sqrt{7}}{2}. \right.$

Có: $\left. \cos\widehat{OHD} = \dfrac{OH}{HD} = \sqrt{\dfrac{3}{7}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\Rightarrow a = 3,b = 7\Rightarrow a + 2b = 17. \right.$

Đáp án cần điền là: 17

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.