a) Cho $x,y$ là các số nguyên dương sao cho $x^{2} + 2y$ là số chính phương. Chứng minh rằng $x^{2} +

Câu hỏi số 781178:

Vận dụng

a) Cho $x,y$ là các số nguyên dương sao cho $x^{2} + 2y$ là số chính phương. Chứng minh rằng $x^{2} + y$ là tổng của 2 số chính phương.

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn $\left( {x^{2} + 1} \right)\left( {y^{2} + 1} \right) + 2\left( {x - y} \right)\left( {1 - xy} \right) = 4\left( {1 + xy} \right)$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:781178

Phương pháp giải

a) Theo đề bài: $x^{2} + 2y = m^{2}$ với $m \in {\mathbb{N}}$

$\left. \Rightarrow 2y = m^{2} - x^{2} \right.$

$\left. \Rightarrow m \right.$ và $x$ cùng tính chẵn lẻ $\left. \Rightarrow\dfrac{m + x}{2};\dfrac{m - x}{2} \right.$ là các số nguyên.

b) Phương trình ban đầu$\left. ~\Leftrightarrow\left( {y - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 2 \right.$ (vì $x,y$ nguyên dương)

Do $x$ nguyên dương $\left. \Rightarrow x + 1 \geq 2 \right.$

Giải chi tiết

a) Theo đề bài: $x^{2} + 2y = m^{2}$ với $m \in {\mathbb{N}}$

$\left. \Rightarrow 2y = m^{2} - x^{2} \right.$

$\left. \Rightarrow m \right.$ và $x$ cùng tính chẵn lẻ $\left. \Rightarrow\dfrac{m + x}{2};\dfrac{m - x}{2} \right.$ là các số nguyên.
Ta có: $x^{2} + y = x^{2} + \dfrac{m^{2} - x^{2}}{2} = \dfrac{2\left( {m^{2} + x^{2}} \right)}{4} = \left( \dfrac{m - x}{2} \right)^{2} + \left( \dfrac{m + x}{2} \right)^{2}$
Ta có điều phải chứng minh.

b) $\left( {x^{2} + 1} \right)\left( {y^{2} + 1} \right) + 2\left( {x - y} \right)\left( {1 - xy} \right) = 4\left( {1 + xy} \right)$

$\left. ~\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2xy + x^{2}y^{2} - 2xy + 1 + 2\left( {x - y} \right)\left( {1 - xy} \right) = 4 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow{(x - y)}^{2} + {(1 - xy)}^{2} + 2\left( {x - y} \right)\left( {1 - xy} \right) = 4 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow{(x - y + 1 - xy)}^{2} = 4 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow{(1 - y)}^{2}{(x + 1)}^{2} = 4 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {y - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 2 \right.$ (vì $x,y$ nguyên dương)

Do $x$ nguyên dương $\left. \Rightarrow x + 1 \geq 2 \right.$ nên ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x + 1 = 2} \\ {y - 1 = 1} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = 1} \\ {y = 2} \end{array} \right. \right.$

Vậy $\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link