a) Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{a^{2} + bc} + \dfrac{1}{b^{2} + ac} +

Câu hỏi số 781177:

Vận dụng

a) Cho $a,b,c$ là các số thực dương.

Chứng minh rằng $\dfrac{1}{a^{2} + bc} + \dfrac{1}{b^{2} + ac} + \dfrac{1}{c^{2} + ab} \leq \dfrac{a + b + c}{2abc}.$

b) Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $xy \geq 1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{x}{y + 1} + \dfrac{y}{x + 1} + \dfrac{1}{xy + 1}.$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:781177

Phương pháp giải

a) Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$

b) Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel.

Sử dụng ${(x + y)}^{2} \geq 4xy$

Đặt $t = x + y \geq 2\sqrt{xy} \geq 2$.

Giải chi tiết

a) Bất đẳng thức đã cho tương đương với $\dfrac{2abc}{a^{2} + bc} + \dfrac{2abc}{b^{2} + ac} + \dfrac{2abc}{c^{2} + ab} \leq a + b + c$ (1)
Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ ta có $\left. a^{2} + bc \geq 2a\sqrt{bc}\Rightarrow\dfrac{2abc}{a^{2} + bc} \leq \sqrt{bc} \right.$.
Tương tự suy ra $\dfrac{2abc}{a^{2} + bc} + \dfrac{2abc}{b^{2} + ac} + \dfrac{2abc}{c^{2} + ab} \leq \sqrt{bc} + \sqrt{ac} + \sqrt{ab}$ (2)
Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ ta có $a + b \geq 2\sqrt{ab}$
Tương tự suy ra $\sqrt{bc} + \sqrt{ac} + \sqrt{ab} \leq a + b + c$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$.

b) Ta có $\dfrac{x}{y + 1} + \dfrac{y}{x + 1} + \dfrac{1}{xy + 1} = \dfrac{x^{2}}{xy + x} + \dfrac{y^{2}}{xy + y} + \dfrac{1}{xy + 1}$$\geq \dfrac{{(x + y)}^{2}}{2xy + x + y} + \dfrac{1}{xy + 1}$ (1) (BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel).

Sử dụng ${(x + y)}^{2} \geq 4xy$ suy ra

$\dfrac{{(x + y)}^{2}}{2xy + x + y} + \dfrac{1}{xy + 1} \geq \dfrac{{(x + y)}^{2}}{\dfrac{{(x + y)}^{2}}{2} + x + y} + \dfrac{1}{\dfrac{{(x + y)}^{2}}{4} + 1} = \dfrac{2\left( {x + y} \right)}{x + y + 2} + \dfrac{4}{{(x + y)}^{2} + 4}$

Đặt $t = x + y \geq 2\sqrt{xy} \geq 2$.
Ta thấy $\left. \dfrac{2t}{t + 2} + \dfrac{4}{t^{2} + 4} \geq \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{{(t - 2)}^{3}}{2\left( {t + 2} \right)\left( {t^{2} + 4} \right)} \geq 0 \right.$ luôn đúng với mọi $t \geq 2$.
Vậy $\text{min}P = \dfrac{3}{2}$ tại $x = y = 1$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link