Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà cao 40 m. Mặt cắt

Câu hỏi số 781301:

Vận dụng

Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà cao 40 m. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình vuông. Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh $L_{0} = 18m$, mặt đỉnh là hình vuông có cạnh $L_{40} = 18m$. Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà: Hình vuông có cạnh $L_{\text{min}} = 13m$. Mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính: mét khối).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:781301

Phương pháp giải

Gắn hệ trục toạ độ tìm công thức thiết diện theo x từ đó tính thể tích bằng tích phân thiết diện

Giải chi tiết

Gắn hệ trục toạ độ như hình vẽ với Ox là đường đi qua 1 tâm của toà nhà, Oy là đường qua tâm và 1 đỉnh của toà nhà

Ta có $L_{0} = 18\text{~m}$ nên đường chéo hình vuông là $\left. 18\sqrt{2}\Rightarrow OA = 9\sqrt{2} \right.$

Tương tự $EB = \dfrac{13\sqrt{2}}{2};FC = 9\sqrt{2}$

Khi đó $A\left( {0,9\sqrt{2}} \right),B\left( {20,\dfrac{13\sqrt{2}}{2}} \right),C\left( {40,9\sqrt{2}} \right)$ thuộc $(P):y = ax^{2} + bx + c$

$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {c = 9\sqrt{2}} \\ {a.20^{2} + 20b + 9\sqrt{2} = \dfrac{13}{\sqrt{2}}} \\ {40^{2}a + 40b + 9\sqrt{2} = 9\sqrt{2}} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \left. a = 0,00883\rightarrow STO\,\, A \right. \\ \left. b = - 0,3535\rightarrow STO\,\, B \right. \\ {c = 9\sqrt{2}} \end{array} \right. \right.$

Khi đó thiết diện mặt cắt hình vuông tại hoành độ bằng x bất kì có tung độ bằng $Ax^{2} + Bx + 9\sqrt{2}$ nên cạnh hình vuông bằng $\left( {Ax^{2} + Bx + 9\sqrt{2}} \right).\sqrt{2}$

Thiết diện có diện tích $2\left( {Ax^{2} + Bx + 9\sqrt{2}} \right)^{2}$

Vậy thể tích của toà nhà là $V = {\int\limits_{0}^{40}{2\left( {Ax^{2} + Bx + 9\sqrt{2}} \right)^{2}}}dx = \dfrac{26080}{3} \approx 8693$

Đáp án cần điền là: 8693

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.