Cho hình vuông $ABCD$. Trên các cạnh $AB,\,\, BC,\,\, CD,\,\, DA$ ta lấy theo thứ tự các điểm $E,\,\,

Câu hỏi số 781817:

Vận dụng

Cho hình vuông $ABCD$. Trên các cạnh $AB,\,\, BC,\,\, CD,\,\, DA$ ta lấy theo thứ tự các điểm $E,\,\, F,\,\, G,\,\, H$ sao cho $AE = BF = CG = DH$. Xác định vị trí của các điểm $E,\,\, F,\,\, G,\,\, H$ sao cho tứ giác $EFGH$ có chu vi nhỏ nhất

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:781817

Phương pháp giải

- Chứng minh $EFGH$ là hình vuông

- Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $EG$. Chứng minh $O$ là tâm của 2 hình vuông $ABCD,\,\, EFGH$

- Tính chu vi $EFGH$ theo $OE$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $OE$

Giải chi tiết

Dễ chứng minh $\Delta HAE = \Delta EBF = \Delta FCG = \Delta GHD$

$\left. \Rightarrow HE = HF = FG = GH \right.$

Do đó $EFGH$ là hình thoi

Ta có $\angle AHE = \angle BEF$ (do $\Delta HAE = \Delta EBF$)

Suy ra $\angle AHE + \angle AEH = 90{^\circ}$

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow\angle BEF + \angle AEH = 90{^\circ} \right. \\ \left. \Rightarrow\angle HEF = 90{^\circ} \right. \end{array}$

Do đó $EFGH$ là hình vuông

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $EG$

Tứ giác $AECG$ có $AE = CG,\,\, AE \parallel CG$ nên $AECG$ là hình bình hành

Suy ra $O$ là trung điểm của $AC$ và $EG$

Do đó $O$ là tâm của cả hai hình vuông $ABCD$ và $EFGH$

$\Delta HOE$ vuông cân tại $O$ nên $\left. HE^{2} = 2OE^{2}\Rightarrow HE = OE\sqrt{2} \right.$

Chu vi $EFGH$ bằng $4HE = 4\sqrt{2}OE$

Kẻ $OK\bot AB\,\,\left( {K \in AB} \right)$

Khi đó $K$ là trung điểm của $AB$ và $OK = \dfrac{AB}{2}$

Khi đó $OE \geq OK$

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $E \equiv K$

Vậy chu vi tứ giác $EFGH$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $E,\,\, F,\,\, G,\,\, H$ là trung điểm của $AB,\,\, BC,\,\, CD,\,\, DA$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link